Poissonova enáčba [poasónova ~] (imenovana tudi enačba teorije potenciala) je v matematiki parcialna diferencialna enačba 2. reda

kjer je Laplaceov operator, φ skalarno polje in ρ, velikokrat imenovana izvorna funkcija, poljubna dana funkcija kraja v podmnožici D množice (mnogoterosti).

Če je funkcija točke ρ = 0, dobimo Laplaceovo enačbo:

Poissonova enačba se zapisuje tudi v obliki:

običajno kadar mnogoterost ni evklidski prostor.

Značilnosti uredi

Poissonova enačba je linearna in zanjo velja načelo superpozicije: za   in   sledi  . To dejstvo pomaga pri konstrukciji rešitev Poissonove enačbe iz osnovnih rešitev ali Greenovih funkcij, kjer je izvorna porazdelitev Diracova porazdelitvena funkcija.

V trirazsežnih kartezičnih koordinatah ima obliko:

 

Leta 1812 je Siméon-Denis Poisson odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj telesa. Strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto pa je podal šele Carl Friedrich Gauss leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v vektorski algebri.

Enačba se veliko uporablja v elektrostatiki, strojništvu ali v teoretični fiziki.

Rešitev φ za dano funkcijo f je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno dobimo električni potencial Ψ za dano porazdelitev električnega naboja ρe:

 

Za numerične rešitve enačbe obstaja več metod. Ena od njih, s pomočjo iteracijskega algoritma je relaksacijska metoda.

Raziskovanje skalarnega polja φ iz dane divergence ρ(x, y, z) njegovega gradienta vede na Poissonovo enačbo v 3-razsežnem prostoru:

 

To je pomemben primer za n = 3. Tu je D cela v  . Ko se točka oddalji v neskončnost ( ) je  . Splošna rešitev je Newtonov potencial:

 

Zgledi uredi

V tekočini porazdelitev naboja ni znana in je potrebno uporabiti Poisson-Boltzmannovo enačbo, ki pa se v večini primerov ne da rešiti analitično, ampak samo za določene primere.

Laplaceova in Poissonova enačba sta najpreprostejša primera eliptičnih parcialnih diferencialnih enačb.

Newtonska gravitacija uredi

V primeru gravitacijskega polja g zaradi privlačne sile masivnega telesa z gostoto ρ lahko za ustrezno Poissonovo enačbo za gravitacijo uporabimo Gaussov gravitacijski zakon v diferencialni obliki:

 

Ker je gravitacijsko polje konservativno, ga lahko izrazimo s skalarnim potencialom Φ (gradient skalarnega potenciala - gravitacijski potencial):

 

Če vstavimo v Gaussov gravitacijski zakon:

 

dobimo Poissonovo enačbo za gravitacijo:

 

Če polje φ ni skalarno, velja Poissonova enačba, kot je to lahko v 4-razsežnem prostoru Minkowskega:

 

Takšne probleme rešuje splošna teorija relativnosti, ki gravitacijsko polje obravnava z značilnostmi prostor-časa.

Elektrostatika uredi

Eden od temeljev elektrostatike so problemi in njihove rešitve, ki jih opisuje Poissonova enačba. Iskanje φ za dano ρ je pomemben praktični problem, saj na ta način običajno poiščemo električni potencial za dano porazdelitev naboja.

Po Gaussovem zakonu o električnem pretoku imamo:

 

kjer je:

  operator divergence nabla,
  gostota električnega polja,
  gostota prostega naboja, (ki opisuje delež naboja od zunaj).

Če privzamemmo da je snov linearna, izotropna in homogena, velja:

 

kjer je:

  dielektričnost snovi,
  jakost električnega polja.

Z zamenjavo in deljenjem imamo:

 

V odstotnosti spremenljivega magnetnega polja   Faradayjev indukcijski zakon da:

 

pri čemer je:

  operator rotorja,
  čas.

Ker je rotor jakosti električnega polja enak 0, ga določa skalarno električno potencialno polje   (glej Helmholtzova dekompozicija).

 

Z zamenjavo izločimo   in dobimo obliko Poissonove enačbe:

 

Pri reševanju Poissonove enačbe za potencial moramo poznati porazdelitev gostote naboja. Če je gostota naboja enaka 0, sledi Laplaceova enačba. Če za gostoto naboja velja Boltzmannova porazdelitev, sledi Poisson-Boltzmannova enačba. Slednja igra vlogo pri razvoju Debye-Hücklova teorije razredčenih elektrolitskih raztopin.

Čeprav je zgoraj privzeto, da se magnetno polje ne spreminja s časom, dobimo enako Poissonovo enačbo, če je s časom spremenljivo, vse dokler uporabljamo Coulombovo umeritev. V tako široki sliki računanje   ni več dovolj za izračun  , saj je jakost električnega polja odvisna tudi od magnetnega vektorskega potenciala, ki ga je treba izračunati posebej.

Potencial normalno porazdeljene gostote naboja uredi

Če je gostota naboja   normalno porazdezdeljena sferno in simetrično

 

kjer je Q celotni naboj, je rešitev Poissonove enačbe φ (r):

 

dana z:

 

kjer je erf(x) funkcija napake. To rešitev lahko preverimo eksplicitno s pazljivim ročnim izračunavanjem  . Pri tem se za r, veliko večji od σ, vrednost erf(x) približuje enoti, vrednost potenciala φ (r) pa točkasto nabitemu potencialu  , kot bi pričakovali. Poleg tega se vrednost funkcije napake približuje 1 zelo hitro, če se ji povečuje argument. Praktično je za r > 3σ relativna napaka manjša od 1/1000.

Glej tudi uredi

Zunanje povezave uredi

Članek je dopolnjen s člankom iz PlanetMath.org