Nilpotentna matrika

Nilpotentna matrika je kvadratna matrika $A\,$ za katero velja

$A^{n}=0\quad {\text{za}}\quad n\in \mathbb {N}$

kjer je

• $0\,$ ničelna matrika.

Najmanše naravno število $n\,$ se imenuje stopnja nilpotentnosti.

Nilpotentna transformacija je linearna transformacija $L\,$ vektorskega prostora tako, da je $L^{k}=0\,$ za pozitivno celo število $k\,$.

Primer

Naslednja matrika ima stopnjo nilpotentnosti 2

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

ker je

$A^{2}=A\cdot A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

Lastnosti

Matrika

$N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

je nilpotentna, ker je

$N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$.

Lastnosti

• če je matrika $N\,$ nilpotentna, potem je matrika $I+N\,$ obrnljiva matrika, ki jo dobimo kot

$(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,$

kjer je

• • $I\,$ enotska matrika $n\times n\,$
  • v vsoti samo končno število vrednosti različnih od nič
• če je matrika $N\,$ nilpotentna, potem velja tudi

$\det(I+N)=1,\!\,$

kjer je

• • $I\,$ enotska matrika $n\times n\,$

Velja tudi obratno: Če za matriko $A\,$ velja $\det(I+tA)=1,\!\,$, potem je matrika $A\,$ nilpotentna.

• vsaka singularna matrika se lahko zapiše kot zmnožek nilpotentnih matrik; matrika $A\,$ je nilpotentna samo, če in samo, če so njene lastne vrednosti enake 0 .

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Nipotentna matrika Arhivirano 2008-08-29 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Milpotentna transformacija na PlanetMath (angleško)
• Nilpotentna matrika na MathWorld (angleško)