Nefroida

Nefroida je ravninska krivulja, ki ima obliko ledvic Ime krivulje pomeni oblikovana kot ledvice (primerjaj tudi z nefrologija).

Nefroida je krivulja v rdeči barvi.

Polovica nefroide v kozarcu kave.

Nefroida je epicikloida s k = 2.

Parametrična oblika enačbe

parametrična enačba nefroide je

$x=a(3\cos t-\cos 3t),\quad y=a(3\sin t-\sin 3t).$

Vrhovi krivulje ležijo na osi-x. Kadar pa ležijo vrhovi krivulja na osi-y je parametrična oblika enačbe nefroide

$x=a(3\cos t+\cos 3t),\quad y=a(3\sin t+\sin 3t).$

Kartezična oblika enačbe

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba nefroide $(x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}$.

Lastnosti nefroide

Dolžina loka nefroide je enaka

$l=24a$.

Ploščina pa se izračuna po obrazcu

$P=12\pi a^{2}.$

Polmer ukrivljenosti se dobi po obrazcu

$\rho =|3a\sin t|.$

Nefroida kot kavstika krožnice

Nefroido lahko imamo za kavstiko krožnice za vzporedne žarke. To lahko tudi povemo, da odbiti vzporedni žarki tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida kot ovojnica krožnic

Nefroida kot ovojnica krožnic.

Nefroida se lahko kreira kot ovojnica krožnic. To naredimo na naslednji način: pričnemo z osnovno krožnico (modra). Nato izberemo točko na tej krožnici (rdeča točka). S to točko kot središčem, narišemo krožnico (rdeče) tako, da je tangenta na os-y. Če narišemo večje število krožnic, dobimo nefroido.

Nefroida kot ovojnica premic

Nefroido lahko kreiramo tudi kot ovojnico premic. Postopek je naslednji: Pričnemo s krožnico, ki ima polmer $a\,$. Za različne vrednosti $t\,$ povežemo točke, ki so na $t\,$ in $3t\,$ stopinjah okoli po krožnici (to pomeni, da povežemo točke ($a\cos t,a\sin t)$ s točkami ($a\cos 3t,a\sin 3t)$. Premice, ki jih dobimo, tvorijo ovojnico nefroide.

Nefroida kot epicikloida z dvema konicama

Nefroida je tudi epicikloida z dvema vrhovoma (konicama).

Evoluta nefroide

Evoluta nefroide. Dve pritisnjeni krožnici imata modro barvo. Središča teh krožnic se vidijo kot, ležijo na evoluti (rdeče) (manjša nefroida).

Evoluta nefroide je druga za polovico manjša nefroida, ki pa je zavrtena za 90°. Originalna nefroida se vidi kot, da je ovojnica pritisnjenih krožnic

Involuta nefroide

Ker je evoluta nefroide druga nefroida, je tudi involuta nefroide druga nefroida.

Inverzna krivulja nefroide

Nefroidi inverzna krivulja.

Inverzna krivulja glede na originalno nefroido (rdeče) je krivulja, ki je ovojnica krožnic (črno).

V kartezičnih koordinatah je glede na krožnico c polmerom $a\,$ je v kartezičnih koordinatah enačba inverzne krivulje

$(a^{2}-4(x^{2}+y^{2}))^{3}=108a^{2}x^{2}(x^{2}+y^{2}).$

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Nefroida na MathWorld (angleško)
• Nefroida na Mactutor of Mathematical Archive Arhivirano 2010-12-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Nefroida na Xah Lee Web (angleško)
• Nefroida v National Curve of Bank (angleško)