Metrika

Métrika je v matematiki posplošitev pojma razdalje. Metrika podaja oddaljenost med elementi dane množice. Množici, v kateri obstaja metrika, v matematični topologiji rečemo metrični prostor.

Definicija metrike uredi

Metrika je preslikava, ki poljubnemu paru elementov x,y iz dane množice priredi realno število d(x,y) z naslednjimi lastnostmi:

d(x, y) ≥ 0 (nenegativnost)
d(x, y) = 0, če in samo če x = y
d(x, y) = d(y, x) (simetričnost)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (trikotniška neenakost)

Primeri metrik uredi

Evklidska metrika uredi

Glavni članek: evklidska razdalja.

Običajna razdalja v evklidski geometriji je metrika. Imenujemo jo evklidska metrika, oziroma evklidska razdalja. V $n$ -razsežnem evklidskem prostoru izračunamo razdaljo med točkama A(a₁,a₂,...,a_n) in B(b₁,b₂,...,b_n) po formuli:

d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}\!\,.

k-ta metrika uredi

Če v zgornji formuli nadomestimo kvadriranje s k-to potenco in kvadratni koren s k-tim korenom, dobimo k-to metriko:

d_{k}(A,B)={\sqrt[{k}]{|a_{1}-b_{1}|^{k}+|a_{2}-b_{2}|^{k}+\cdots +|a_{n}-b_{n}|^{k}}}\!\,.

Ta metrika izhaja iz k-te norme v vektorskem prostoru.

Diskretna metrika uredi

Najpreprostejša (vendar ravno zato najmanj uporabna) je diskretna metrika:

d(x,y) = 0, če je x = y
d(x,y) = 1 v vseh ostalih primerih