Merjenje kroga

Merjenje kroga (starogrško Κύκλου μέτρησις: Kuklou mētresis) je Arhimedova razprava, v kateri predstavlja tri svoje trditve. Razprava je odlomek njegovega obširnejšega dela.

Trditve

Prva trditev

Krog in pravokotni trikotnik z enakima ploščinama.

• Ploščina katerega koli kroga je enaka ploščini pravokotnega trikotnika, v katerem je ena kateta enaka polmeru kroga, druga pa njegovemu obsegu:

$p={\frac {or}{2}}\!\,.$

Trditev je dokazal z metodo izčrpavanja.

Druga trditev

• Razmerje med ploščino kroga in kvadratom njegovega premera je 11:14.

Trditev morda ni Arhimedova, ker temelji na rezultatu njegove tretje trditve.

Tretja trditev

Prikaz Arhimedovega izračuna števila π. Približek je izračunal s pomočjo včrtanega in očrtanega pravilnega 96-kotnika.

• Razmerje med obsegom katerega koli kroga in njegovim premerom je večje od $3{\tfrac {10}{71}}$ in manjše od $3{\tfrac {1}{7}}$.

Približek se sedaj imenuje matematična konstanta π, Arhimedova konstanta, Ludolfovo število ali krožna konstanta. Do rezultata je prišel z računanjem obsegov krogu včrtanega in podobnega očrtanega pravilnega 96-kotnika.

Kvadratni koren števila 3

Razprava vsebuje tudi točen približek kvadratnega korena števila 3, zapisan z njegovo spodnjo in zgornjo mejo, in druge večje nepopolne kvadratne korene. Zanje Arhimed ni razložil, kako jih je izračunal. √3 je definiral kot:

${\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}},$

kar je enako:

$1,{\overline {7320261437908496}}<{\sqrt {3}}<1,73{\overline {205128}}\!\,.$

Absolutni napaki mej sta 0,0000246637780274561... (24,66377×10^{2999400000000000000♠−6}) in 0,000000474482404921872... (474,5×10^{2999100000000000000♠−9}). Znani sta iz raziskovanja Pellove enačbe in konvergentov povezanega verižnega ulomka, kar je vodilo do razprav koliko te teorije števil je bilo dostopno Arhimedu. Razprava gre vsaj do de Lagnyja leta 1723, bolj eksplicitno pa jo je obravnaval Zeuthen. Hultsch (1833–1906) in Hunrath (rojen 1847) sta poudarila, da se meji lahko izračunata hitro s preprostima binomskima mejama na kvadratnih korenih, kar je sorodno metodi s popolnim kvadratom v Evklidovih Elementih (2.4, 7). To metodo je zagovarjal Heath. Čeprav je omenjena samo ena pot do mej, sta v bistvu še dve drugi in meje so neodvisne od metode. Meji se lahko izračunata tudi z iterativno geometrijsko konstrukcijo, ki jo je predlagal Arhimed v delu Ostomahion pri računanju pravilnega dvanajstkotnika. V tem primeru je naloga poiskati racionalne približke funkcije tangensa π/12.

Viri

• Brown, Kevin (2015), Archimedes and the Square Root of 3 (v angleščini), pridobljeno 16. februarja 2016
• Heath, Thomas Little (1897), The Works of Archimedes, Cambridge University: University Press, pridobljeno 30. junija 2008
• Heath, Thomas Little (1921), A History of Greek Mathematics, Boston: Adamant Media Corporation, ISBN 0-543-96877-4, pridobljeno 30. junija 2008
• Heath, Thomas Little (1931), A Manual of Greek Mathematics, Mineola, N.Y.: Dover Publications, ISBN 0-486-43231-9
• Knorr, Wilbur Richard (1976), »Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation«, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462
• Whitford, Edward Everett (1912), The Pell equation, doktorska disertacija, Univerza Columbia