Karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve

Karakterístična fúnkcija verjétnostne porazdelítve (značilna funkcija verjetnostne porazdelitve) ali kar karakteristična funkcija v verjetnostnem računu in statistiki za poljubno slučajno spremenljivko popolnoma določa verjetnostno porazdelitev.

Karakteristična funkcija nam na drugi način (običajno celo enostavnejši) omogoča določanje funkcije gostote verjetnosti in zbirne funkcije verjetnosti. S pomočjo karakteristične funkcije je enostavneje določiti funkcijo gostote verjetnosti ali zbirno funkcijo verjetnosti pri tistih porazdelitvah, ki imajo zelo zapleteno funkcijo porazdelitve.

Definicija

$\varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} {\big [}e^{itX}{\big ]}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)\qquad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)$

kjer

• t je realno število
• E je pričakovana vrednost
• F je zbirna funkcija verjetnosti

Zgornji izraz velja samo, če obstoja $f(x)\!$ (funkcija gostote verjetnosti).
Uporabljeni integral je Rieman-Stieltjesov integral.
Slučajna spremenljivka je označena z X.

Če poznamo karakteristično funkcijo, lahko dobimo zbirno funkcijo verjetnosti na naslednji način:

$F_{X}(y)-F_{Y}(y)=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-r}^{+r}{\frac {e^{-itx}-e^{+itx}}{it}}.\varphi _{X}(t)dt\!$.

Če integrabilno karakteristično funkcijo označimo s $\varphi _{X}\!$ in je $F_{X}\!$ absolutno zvezna, ima slučajna spremenljivka X funkcijo gostote verjetnosti $f(x)\!$ dano z

$f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\varphi _{X}(t)dt,$   če je X skalarna spremenljivka

Lévyjev izrek se imenuje po francoskem matematiku Paulu Pierru Lévyju (1886 – 1971). Izrek pravi naslednje: če je $\varphi _{X}\!$ karakteristična funkcija porazdelitve $F_{X}\!$, potem obstojata dve taki točki a<b, da velja

$F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt,$   če je X skalarna spremenljivka

Velja tudi

$F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)dt$,   za skalarno naključno spremenljivko X

Zgledi

Porazdelitev	Karakteristična funkcija φ(t)
degenerirana porazdelitev δa	$\,e^{ita}$
binomska porazdelitev B(n, p)	$\,(1-p+pe^{it})^{n}$
Poissonova porazdelitev Pois(λ)	$\,e^{\lambda (e^{it}-1)}$
zvezna enakomerna porazdelitev U(a, b)	$\,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
Laplaceova porazdelitev L(μ, b)	$\,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
normalna porazdelitev N(μ, σ2)	$\,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
porazdelitev hi-kvadrat χ2k	$\,(1-2it)^{-k/2}$
Cauchyjeva porazdelitev Cauchy(μ, θ)	$\,e^{it\mu -\theta |t|}$
porazdelitev gama Γ(k, θ)	$\,(1-it\theta )^{-k}$
eksponentna porazdelitev Exp(λ)	$\,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
multivariantna normalna porazdelitev N(μ, Σ)	$\,e^{it'\mu -{\frac {1}{2}}t'\Sigma t}$