Dano imamo fiksno krožnico s središčem v
O
{\displaystyle O\,}
r
{\displaystyle r\,}
Q
{\displaystyle Q\,}
P
{\displaystyle P\,}
O
P
.
P
Q
=
k
2
{\displaystyle OP.PQ=k^{2}\,}
P
{\displaystyle P\,}
Q
{\displaystyle Q\,}
C
{\displaystyle C\,}
C
{\displaystyle C\,}
O
{\displaystyle O\,}
središče inverzije , krog imenujemo krog inverzije , vrednost
k
{\displaystyle k\,}
polmer inverzije .
Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.
Inverzna točka glede na enotski krog , ki ima koordinate središča
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,Y)\,}
X
=
x
x
2
+
y
2
,
Y
=
y
x
2
+
y
2
,
{\displaystyle X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},}
ali, kar je enakovredno
x
=
X
X
2
+
Y
2
,
y
=
Y
X
2
+
Y
2
.
{\displaystyle x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.}
Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0\,}
f
(
X
X
2
+
Y
2
,
Y
X
2
+
Y
2
)
=
0.
{\displaystyle f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.}
Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje
n
{\displaystyle n\,}
2
n
{\displaystyle 2n\,}
Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),\ y=y(t)}
X
=
X
(
t
)
=
x
(
t
)
x
(
t
)
2
+
y
(
t
)
2
,
Y
=
Y
(
t
)
=
y
(
t
)
x
(
t
)
2
+
y
(
t
)
2
.
{\displaystyle X=X(t)={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\ Y=Y(t)={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.}
To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.
Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0\,}
f
(
a
+
k
2
(
X
−
a
)
(
X
−
a
)
2
+
(
Y
−
b
)
2
,
b
+
k
2
(
Y
−
b
)
(
X
−
a
)
2
+
(
Y
−
b
)
2
)
=
0.
{\displaystyle f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},\ b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.}
Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),\ y=y(t)}
je glede na neko krožnico, je dana kot
X
=
X
(
t
)
=
a
+
k
2
(
x
(
t
)
−
a
)
(
x
(
t
)
−
a
)
2
+
(
y
(
t
)
−
b
)
2
,
Y
=
Y
(
t
)
=
b
+
k
2
(
y
(
t
)
−
b
)
(
x
(
t
)
−
a
)
2
+
(
y
(
t
)
−
b
)
2
.
{\displaystyle X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}}.}
V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka
f
(
r
,
θ
)
{\displaystyle f(r,\theta )\,}
f
(
r
,
Θ
)
{\displaystyle f(r,\Theta )\,}
R
=
1
r
,
Θ
=
θ
,
{\displaystyle R={\frac {1}{r}},\ \Theta =\theta ,}
ali
r
=
1
R
,
θ
=
Θ
.
{\displaystyle r={\frac {1}{R}},\ \theta =\Theta .}
Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo
f
(
r
,
θ
)
{\displaystyle f(r,\theta )\,}
f
(
1
/
R
,
Θ
)
=
0
{\displaystyle f(1/R,\Theta )=0\,}
r
=
g
(
θ
)
{\displaystyle r=g(\theta )\,}
r
=
1
/
g
(
θ
)
{\displaystyle r=1/g(\theta )\,}
Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
2
(
x
2
−
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\,}
To nam da
a
2
(
u
2
−
v
2
)
=
1
,
{\displaystyle a^{2}(u^{2}-v^{2})=1,\,}
kar pa je enačba hiperbole .
Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.
Zunanje povezave
uredi
