Hiperbólične fúnkcije so matematične funkcije , ki so po nekaterih lastnostih podobne trigonometričnim funkcijam . Pomembnejše hiperbolične funkcije so hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus in hiperbolični tangens, redkeje pa se uporablja še hiperbolični kotangens, hiperbolični sekans in hiperbolični kosekans.
Inverzi hiperboličnih funkcij se imenujejo area funkcije .
Definicije hiperboličnih funkcij
uredi
y = sh x y = ch x y = th x Hiperbolični sinus (oznaka sh ali sinh ) je definiran kot:sh x = e x − e − x 2 {\displaystyle \operatorname {sh} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} Hiperbolični kosinus (oznaka ch ali cosh ) je definiran kot:ch x = e x + e − x 2 {\displaystyle \operatorname {ch} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} Hiperbolični tangens (oznaka th ali tanh ) je definiran kot:th x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle \operatorname {th} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}} Hiperbolični kotangens (oznaka cth ali coth ) je definiran kot:cth x = e x + e − x e x − e − x {\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}} Hiperbolični sekans (oznaka sech ) je definiran kot:sech x = 2 e x + e − x = 1 ch x {\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}} Hiperbolični kosekans (oznaka csch ) je definiran kot:csch x = 2 e x − e − x = 1 sh x {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {1}{\operatorname {sh} \,x}}} V Evropi so bolj v navadi kratke oznake (sh, ch, th, cth), v ZDA pa so bolj v navadi dolge oznake (sinh, cosh, tanh, coth).
Ime hiperbolične funkcije izhaja iz dejstva, da lahko hiperbolo z enačbo x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
x = a ch t , y = b sh t {\displaystyle x=a\,\operatorname {ch} \,t,~~~~~y=b\,\operatorname {sh} \,t} Povezavo med hiperboličnimi in trigonometrijskimi funkcijami vidimo, če za argument vstavimo imaginarno število :
sh i x = i sin x {\displaystyle \operatorname {sh} \,ix=i\sin x\!\,} ch i x = cos x {\displaystyle \operatorname {ch} \,ix=\cos x\!\,} th i x = i tg x {\displaystyle \operatorname {th} \,ix=i\,\operatorname {tg} \,x\!\,} sin x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \operatorname {sin} \,x={\frac {e^{i}x-e^{-ix}}{2i}}} cos x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \operatorname {cos} \,x={\frac {e^{i}x+e^{-ix}}{2}}} tg x = e i x − e − i x i ( e i x + e − i x ) {\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {e^{i}x-e^{-ix}}{i(e^{i}x+e^{-ix})}}} Osnovne zveze
uredi
Med hiperboličnimi funkcijami veljajo naslednje osnovne zveze, ki so do neke mere podobne osnovnim zvezam med trigonometrijskimi funkcijami:
ch 2 x − sh 2 x = 1 {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1\!\,} th x = sh x ch x {\displaystyle \operatorname {th} \,x={\frac {\operatorname {sh} \,x}{\operatorname {ch} \,x}}} cth x = ch x sh x {\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {\operatorname {ch} \,x}{\operatorname {sh} \,x}}} th x ⋅ cth x = 1 {\displaystyle \operatorname {th} \,x\cdot \operatorname {cth} \,x=1\!\,} 1 − th 2 x = 1 ch 2 x {\displaystyle 1-\operatorname {th} ^{2}x={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}} cth 2 x − 1 = 1 sh 2 x {\displaystyle \operatorname {cth} ^{2}x-1={\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}} Sodost in lihost
uredi
sh ( − x ) = − sh x {\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} \,x} ch ( − x ) = ch x {\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} \,x} th ( − x ) = − th x {\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} \,x} Adicijski izreki in funkcije dvojnih kotov
uredi
Tudi adicijski izreki so do neke mere podobni tistim za običajne trigonometrijske funkcije:
sh ( x + y ) = sh x ch y + ch x sh y {\displaystyle \operatorname {sh} (x+y)=\operatorname {sh} \,x\,\operatorname {ch} \,y+\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {sh} \,y} ch ( x + y ) = ch x ch y + sh x sh y {\displaystyle \operatorname {ch} (x+y)=\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {ch} \,y+\operatorname {sh} \,x\,\operatorname {sh} \,y} th ( x + y ) = th x + th y 1 + th x th y {\displaystyle \operatorname {th} (x+y)={\frac {\operatorname {th} \,x+\operatorname {th} \,y}{1+\operatorname {th} \,x\,\operatorname {th} \,y}}} Formule za funkcije dvojnih kotov so naslednje:
sh 2 x = 2 ch x sh x {\displaystyle \operatorname {sh} \,2x=2\,\operatorname {ch} \,x\,\operatorname {sh} \,x} ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x {\displaystyle \operatorname {ch} \,2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x} th 2 x = 2 th x 1 + th 2 x {\displaystyle \operatorname {th} \,2x={\frac {2\,\operatorname {th} \,x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}} Odvodi in integrali
uredi
( sh x ) ′ = ch x {\displaystyle (\operatorname {sh} \,x)^{\prime }=\operatorname {ch} \,x} ( ch x ) ′ = sh x {\displaystyle (\operatorname {ch} \,x)^{\prime }=\operatorname {sh} \,x} ( th x ) ′ = 1 ch 2 x {\displaystyle (\operatorname {th} \,x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}} ∫ sh x d x = ch x + C {\displaystyle \int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C} ∫ ch x d x = sh x + C {\displaystyle \int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C} ∫ th x d x = ln ch x + C {\displaystyle \int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln \operatorname {ch} \,x+C} ∫ 1 ch 2 x d x = th x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} \,x+C} ∫ 1 sh 2 x d x = − cth x + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\,\operatorname {cth} \,x+C} 
