Hinčinova konstanta

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila $\xi \,$ enaka ne glede na vrednost $\xi \,$.

Za poljubno realno število:

$\xi =[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\!\,$

skoraj vedno velja:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}\,\!,$

kjer je $K_{0}\,$ Hinčinova konstanta:

$K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right)}^{\operatorname {lb} r}=2,685452001065\ldots \!\,,$ (OEIS A002210),

kjer je $\operatorname {lb} r\,$ dvojiški logaritem.

To značilnost verižnih ulomkov je leta 1933 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.

Realna števila, za katere ta značilnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza Φ) in osnovo naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta značilnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je racionalno, algebrsko iracionalno ali transcendentno število.

Neskončni verižni ulomek Hinčinove konstante je (OEIS A002211) :

$K_{0}=[2;1,2,5,1,1,2,1,1,3,10,2,1,3,2,24,1,3,2,3,1,1,1,...]\,\!.$

Razvoj v vrsto

Hinčinovo konstanto se lahko izrazi z racionalno vrsto ζ v obliki:

$\log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\!\,$

ali:

$\log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\left[\sum _{k=3}^{N}\log \left({\frac {k-1}{k}}\right)\log \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]\!\,,$

kjer je $N\,$ fiksno celo število in $\zeta (s,q)\,$ Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se $\zeta (n)-1\,$ za velike $n\,$ hitro približuje 0. Razvoj se lahko poda tudi s funkcijo dilogaritma:

$\log K_{0}=\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]\!\,.$

Hölderjeva sredina

Hinčinova konstanta je prva v nizu Hölderjevih sredin izrazov verižnih ulomkov. Če je dana poljubna vrsta $\{a_{n}\}\,$, je Hölderjeva sredina reda $p\,$ dana kot:

$K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}\!\,.$

Ko so $\{a_{n}\}\,$ členi razvojaa v verižni ulomek, so konstante dane z:

$K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\operatorname {lb} \left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}\!\,.$

To sledi, če se uporabi p-ta sredina v povezavi z Gauss-Kuzminovo porazdelitvijo. Vrednost Hinčinove konstante $K_{0}\,$ izhaja iz limite $p\to 0\,$.

Glej tudi

• Lévyjeva konstanta (Hinčin-Lévyjeva konstanta)
• Hinčinova harmonična sredina

Viri

• Bailey, David H.; Borwein, Jonathan Michael; Crandall, Richard E. (1997), »On the Khinchine constant« (PDF), Math. Comp., 66 (217): 417–431, doi:10.1090/s0025-5718-97-00800-4, MR 1377659, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 28. maja 2005, pridobljeno 19. julija 2015
• Borwein, Jonathan Michael; Bradley, David M.; Crandall, Richard E. (2000), »Computational Strategies for the Riemann Zeta Function« (PDF), J. Comp. App. Math., 121 (1–2): 247–296, doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 25. septembra 2006, pridobljeno 19. julija 2015
• Cellarosi, Francesco; Hensley, Doug; Miller, Steven J.; Wellens, Jake L. (2014), Continued fraction digit averages an Maclaurin's inequalities, arXiv:1402.0208
• Hinčin, Aleksander Jakovljevič (1936), »Zur metrischen kettenbruchtheorie«, Compositio Mathematica, 3: 275–286
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1951), »On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)«, Studia Mathematica, 12: 74–79
• Wieting, Thomas (2008), »A Khinchin Sequence«, Proc. Amer. Math. Soc., 136 (3): 815–824, MR 2361853
• Wolf, Marek (2010), Continued fractions constructed from prime numbers, arXiv:1003.4015
• Wolf, Marek (2013), »Computer experiments with Mersenne primes«, Computational Methods in Science and Technology, 19 (3): 157–165, arXiv:1112.2412, doi:10.12921/cmst.2013.19.03.157-165

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Khinchin's constant«. MathWorld.