Faktorizacija

Faktorízacija (tudi razstávljanje ali razcépljanje) je matematični postopek, s katerim preoblikujemo število, izraz ali drug matematični objekt v obliko produkta faktorjev.

Obratni postopek je razčlenjevanje (preoblikovanje v obliko vsote členov).

Praštevilska faktorizacija

Praštevilska faktorizacija (prafaktorizacija ali praštevilski razcep) je zapis naravnega števila v obliki produkta faktorjev, ki so vsi praštevila. Zgled: 66 = 2 · 3 · 11.

Faktorizacija mnogočlenikov

Faktorizacija mnogočlenikov (polinomov) je postopek preoblikovanja mnogočlenika v obliko produkta preprostejših mnogočlenikov.

V realnem lahko vsak polinom stopnje 3 ali več zapišemo kot produkt linearnih in kvadratnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1 in 2).

Zgled razcepa v realnem: $p(x)=x^{3}+x^{2}-4x+6=(x+3)(x^{2}-2x+2)$

V kompleksnem lahko vsak polinom stopnje 2 ali več zapišemo kot produkt samih linearnih polinomov (tj. polinomov stopnje 1).

Zgled razcepa v kompleksnem: $p(x)=x^{3}+x^{2}-4x+6=(x+3)(x-1-i)(x-1+i)$

Nekaj enačb, ki jih pogosto uporabljamo pri razcepljanju mnogočlenikov:

• razcep z izpostavljanjem: $ab+ac=a(b+c)$
• razcep razlike kvadratov: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
• razcep vsote kvadratov (samo v kompleksnem): $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$
• razcep razlike kubov: $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
• razcep vsote kubov: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
• razcep tričlenika po Viètovem pravilu: $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

Faktorizacija trigonometričnih funkcij

Za preoblikovanje vsote trigonometričnih funkcij v produkt uporabljamo naslednje enačbe:

• vsota sinusov: $\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$
• razlika sinusov: $\sin x-\sin y=2\sin {\frac {x-y}{2}}\cos {\frac {x+y}{2}}$
• vsota kosinusov: $\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$
• razlika kosinusov: $\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

Glej tudi

• razčlenjevanje