Monoid: Razlika med redakcijama

* V ''M'' obstaja takšen element ''e'', za katerega za vsak ''a'' <math>\in</math> ''M'' velja ''e'' * ''a'' = ''a'' * ''e'' = ''a'' ([[enak nevtralni element|Zakon o enakemnevtralnem elementu (identiteti)]]).

Drugače povedano, monoid je [[polgrupa]] z enakimnevtralnim elementom (identiteto).

== PrimeriZgledi monoidov ==

Neposredno iz določitve lahko pokažemo, da je enaknevtralni element ''e'' edin. Potem lahko določimo ''obrnljive elemente'': element ''x'' se imenuje obrnljiv, če obstaja tak&šen element ''y'', za katerega velja ''x'' * ''y'' = ''e'' in ''y'' * ''x'' = ''e''. Pokaže se, da množica vseh obrnljivih elementov z operacijo * tvori grupo. V tem smislu vsak monoid vsebuje grupo.

Vsakega monoida pa ne moremo imeti za grupo. Lahko imamo, na primer, monoid v katerem obstajata tak&šna elementa ''a'' in ''b'', za katera vela ''a'' * ''b'' = ''a'', pa čeprav ''b'' ni enaknevtralni element. Takšnega monoida ne moremo vložiti v grupo, ker v grupi lahko množimo obe strani z obratnim elementom ''a'' in bi dobili ''b'' = ''e'', kar pa ne drži. Monoid (''M'', *) ima ''lastnost razveljavitve'' (oziroma je ''razveljaviten''), če za vse ''a'', ''b'' in ''c'' <math>\in</math> ''M'' iz ''a'' * ''b'' = ''a'' * ''c'' vedno sledi ''b'' = ''c'' in iz ''b'' * ''a'' = ''c'' * ''a'' prav tako vedno sledi ''b'' = ''c''. [[Komutativni monoid]], ki je razveljaviten lahko vedno vložimo v grupo. Tako cela števila (grupa z operacijo +) pridelamo iz naravnih števil (komutativen monoid z operacijo + in lastnostjo razveljavitve). Nekomutativen razveljaviten monoid pa ni vložljiv v grupo.