Logaritemski integral: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
difenicija logaritmičnih integralov |
Iz angleške wikipedije |
||
Vrstica 1:
[[en:Logarithmic integral]]
'''Logaritmični integral''' ali '''integralski logaritem''' li(''x'') je v [[matematika|matematiki]] [[matematična funkcija|neelementarna funkcija]], določena za vsa pozitivna [[realno število|realna števila]] ''x''≠ 1 z [[integral|določenim integralom]]:
:<math> {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; . </math>
Tukaj ln označuje [[naravni logaritem]]. Funkcija 1/ln (''t'') ima [[matematična singularnost|singularno]] [[točka|točko]] v ''t'' = 1, tako, da moramo integral za ''x'' > 1 predočiti s ''Cauchyjevo glavno vrednostjo'':
:<math> {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \right) \; . </math>
Obnašanje funkcije pri ''x'' → ∞ je dano z:
:<math> {\rm li} (x) = \Theta \left( {x\over \ln (x)} \right) \; . </math>
(glej [[zapis z velikim O]]).
Logaritmični integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote [[praštevilo|praštevil]], še posebej v [[praštevilski izrek|praštevilskem izreku]]:
:π(''x'') ~ Li(''x''),
kjer π(''x'') označuje [[multiplikativna funkcija|multiplikativno aritmetično funkcijo]] - [[število praštevil]] manjših ali enakih ''x'', Li(''x'') pa je funkcija [[ordinatni logaritmični integral|ordinatnega logaritmičnega integrala]], povezana z li(''x'') kot Li(''x'') = li(''x'') - li(2).
Ordinatni logaritmični integral nam da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(''x''). Funkcija li(''x'') je povezana z ''[[eksponentni integral|eksponentnim integralom]]'' Ei(''x'') preko enačbe:
:li(''x'') = Ei (ln (''x'')) za vse pozitivne realne ''x'' ≠ 1.
To vodi do razvojev v [[vrsta|vrsto]] li(''x''). Na primer:
:<math> {\rm li} (e^{u}) = \gamma + \ln \left| (u) \right| + \sum_{n=1}^{\infty} {u^{n}\over n \cdot n!} \quad {\rm za} \; u \ne 0 \; , </math>
kjer je γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]. Funkcija li(''x'') ima eno pozitivno [[ničla|ničlo]] pri ''x'' ≈ 1.45136 92348 .... To [[število]] je znano kot [[Ramanujan-Soldnerjeva konstanta]].
| |||