Bertrandova domneva: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
Brez povzetka urejanja |
+ |
||
Vrstica 1:
'''Bertrandova domneva''' ali '''Bertrandov [[postulat]]''' iz [[teorija števil|teorije števil]], ki jo je leta [[1845]] postavil [[Joseph Louis Francois Bertrand]] ([[1822]]-[[1900]]), pravi da za vsako [[pozitivno število|pozitivno]] [[celo število]] ''n'' > 3, vedno obstaja vsaj eno takšno [[praštevilo]] ''p'' med ''n'' in 2''n''-2. Domneva v enakovredni šibkejši, vendar ličnejši obliki pravi, da za vsak ''n'' > 1, obstaja vsaj eno takšno praštevilo ''p'', za katerega velja ''n'' < ''p'' < 2''n''.
Domnevo je v celoti dokazal leta [[1850]] [[Pafnuti Lvovič Čebišov]] ([[1821]]-[[1894]]). Zato postulat imenujemo tudi '''izrek Bertranda-Čebišova''', oziroma '''izrek Čebišova'''. Čebišov je v svojem dokazu uporabil [[neenakost Čebišova]]. Bertrand je sam preveril svojo domnevo za vsa števila v intervalu [2, 3 · 10<sup>6</sup>].
[[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan]] ([[1887]]-[[1920]]) je dal enostavnejši [[matematični dokaz|dokaz]], [[Paul Erdös]] ([[1913]]-[[1996]]) pa je leta [[1932]] objavil [[dokaz Bertrandove domneve|zelo enostaven dokaz]], kjer je uporabil funkcijo θ(''x''), določeno kot:▼
▲[[Srinivasa Aaiyangar Ramanujan]] ([[1887]]-[[1920]]) je leta [[1919]] dal enostavnejši [[matematični dokaz|dokaz]] [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper24/page1.htm], iz katerega izhajajo [[Ramanujanovo praštevilo|Ramanujanova praštevila]]. Ramanujan ni poznal predhodnega dela Čebišova. [[Paul Erdös]] ([[1913]]-[[1996]])
: <math> \theta(x) \equiv \sum_{p=2}^{x} \ln (p) </math>
Vrstica 7 ⟶ 9:
kjer ''p'' ≤ ''x'' teče po vseh praštevilih, in [[binomski koeficient|binomske koeficiente]].
Bertrandov postulat so predlagali za uporabo pri [[matematična grupa|permutacijskih grupah]]. [[James Joseph Sylvester]] ([[1814]]-[[1897]]) ga je posplošil v naslednjo obliko: produkt ''k'' zaporednih celih števil, večjih od ''k'', je [[deljivost|deljiv]] s praštevilom, večjim od ''k''.
== Erdösevi izreki ==
Podobna še nerešena domneva pa se sprašuje, ali vedno obstaja takšno praštevilo ''p'', za katerega velja ''n''<sup>2</sup> < ''p'' < (''n''+1)<sup>2</sup>.▼
Erdös je dokazal, da za vsako celo štvilo ''k'' obstaja takšno naravno število ''N'', da je za vse ''n'' > ''N'' vsaj ''k'' praštevil med ''n'' in 2''n''.
Dokazal je tudi, da zmeraj obstajata vsaj dve praštevili ''p'', da velja ''n'' < ''p'' < 2''n'' za vse ''n'' > 6. Še več, eno izmed njiju je [[kongruenca|kongruentno]] 1 po [[modulska aritmetika|modulu]] 4, drugo pa je kongruentno -1 po modulu 4.
[[Praštevilski izrek]] nakazuje, da je za velike ''n'' število praštevil med ''n'' in 2''n'' približno ''n''/ln ''n''. Tako v splošnem obstaja veliko več praštevil v tem intervalu, kot jih določa Bertrandov postulat. Ti izreki so v primerjavi šibkejši od praštevilskega izreka. Da bi uporabili praštevilski izrek za dokaz problemov kot je Bertrandov postulat, bi potrebovali zelo ozko povezavo s členi z napakami v izreku. Oziroma bi morali vedeti dokaj natančno kaj »približno« v praštevilskem izreku pomeni. Takšne ocene napak obstajajo, vendar jih je težko dokazati in tudi veljajo le za velike vrednosti ''n''. Na drugi strani je moč Bertrandov postulat podati v lažji obliki in ga tudi lažje dokazati, ter natančneje navesti kaj se dogaja pri majhnih ''n''. Čebišov je Bertrandovo domnevo dokazal pred praštevilskim izrekom in zaradi tega je njegov izrek pomemben.
▲Podobna še nerešena domneva pa se sprašuje, ali za vsak ''n'' > 1 vedno obstaja takšno praštevilo ''p'', za katerega velja ''n''<sup>2</sup> < ''p'' < (''n''+1)<sup>2</sup>. Spet se po praštevilskem izreku pričakuje, da na tem intervalu ne bo le eno praštevilo, temveč jih bo več. Vendar v tem primeru ocene napak niso dovolj za dokaz obstoja enega praštevila na tem intervalu.
[[Kategorija:Teorija števil]]
| |||