Coxeter-Dinkinov diagram: razlika med redakcijama

odstranjenih 19 zlogov ,  pred 8 meseci
m
Replacing deprecated tags; oblikovne spremembe
({{normativna kontrola}})
m (Replacing deprecated tags; oblikovne spremembe)
 
[[slikaSlika:Finite coxeter.svg|thumbsličica|rightdesno|300px|Coxeter-Dinkinovi diagrami za osnovne končne Coxeterjeve grupe.]]
[[Slika:Affine_coxeter.svg|thumbsličica|rightdesno|300px|Coxeter-Dinkinovi diagrami za osnovne afine Coxeterjeve grupe.]]
'''Coxeter-Dinkinov diagram''' (tudi Coxeterjev diagram ali Coxeterjev graf) je [[graf]], ki ima s številkami označene [[stranica|stranice]] (imenujejo se '''veje''') s katerimi se prikaže prostorske odnose med zbirko [[zrcalo|zrcal]] oziroma odbojnih [[hiperravnina|hiperravnin]]. Opisujejo [[kalejdoskop]]sko konstrukcijo: vsak vozel grafa predstavlja ogledalo (v domeni [[faceta (matematika)|facete]]). Oznaka pri vsaki veji določa stopnjo [[diedrski kot|diedrskega kota]] dveh ogledal (v domeni [[greben (matematika)|grebena]]). Neoznačene veje pomenijo red 3.
 
Vsak diagram predstavlja [[Coxeterjeva grupa|Coxeterjevo grupo]] in tudi Coxeterjeve grupe so razvrščene po pripadajočih diagramih.
 
Podobni so [[Dinkinov diagram|Dinkinovi diagrami]]. Ti se od Coxeterjevih diagramov razlikujejo samo v tem, da so v Dinkinovih diagramih veje, ki imajo oznako 4 ali več, [[usmerjeni graf|usmerjene]]. Coxeterjevi diagrami so neusmerjeni. Razen tega morajo Dinkinovi diagrami zadoščati še dodatni [[kristalografski omejitveni izrek|kristalografski]] omejitvi, ki zahteva, da so dovoljene veje samo 2, 3, 4 in 6.
== Opis diagramov ==
 
Veje Coxeter-Dinkinovih diagramov so označene z [[racionalno število|racionalnimi števili]] <math> p \,</math>, kar predstavlja diedrski kot v velikosti 180°/''p''. Če je p enako 2, je kot 90° in se lahko v diagramu veja izpusti. Kadar je veja neoznačena, to pomeni, da zanjo velja <math> p = 3 \,</math>, kar pomeni kot 60º. Vzporedni zrcali imata oznako "&infin;"
 
== Geometrijska ponazoritev ==
 
Coxeter-Dinkinov diagram se lahko prikaže kot domena ogledal. Ogledalo v tem primeru predstavlja [[hiperravnina|hiperravnino]] s pomočjo sfernega ali [[evklidski prostor|evklidskega]] ali hiperboličnega prostora z dano razsežnostjo.
 
Takšna ponazoritev kaže osnovne domene za dvo in trirazsežne [[evklidska grupa|evklidske grupe]] in dvorazsežne [[sferna grupa|sferne grupe]].
 
{| class=wikitable width=720
|[[Slika:Coxeter-Dynkin 3-space groups_sl.png|360px]]<BR>Coxeterjeve grupe v trirazsežnem prostoru z diagrami. Zrcala (stranice trikotnika) so označena z nasprotnim ogliščem 0..3. Veje grafa so obarvane z zaporedjem odboja.<BR><math>{\tilde{C}}_3</math> izpolni 1/48 kocke. <math>{\tilde{B}}_3</math> izpolni 1/24 kocke. <math>{\tilde{A}}_3</math> izpolni1/12 kocke.
|[[Slika:Coxeter-Dynkin sphere groups_sl.png|360px]]<BR>Coxeterjeve grupe na sferi s pripadajočimi diagrami. Osnovna domena je prikazana v rumeni barvi. Oglišča domen (in veje grafa) so obarvane v zaporedju zrcaljenja.
|}
 
== Uporaba v uniformnih politopih ==
== Cartanove matrike ==
 
Vsakemu Coxeterjevemu diagramu pripada odgovarjajoča [[Cartanova matrika]]. Vse Cartanove matrike [[Coxeterjeva grupa|Coxeterjevih grup]] so simetrične. Elementi Cartanove matrike so a<sub>i,j</sub> = a<sub>j,i</sub> = -2*cos(&pi;π/p),
kjer je:
* <math> p \,</math> red veje med pari zrcal.
 
[[Determinanta]] Cartanove matrike določa ali je grupa končna (pozitivna), afina (nič) ali hiperbolična (negativna). Hiperbolična grupa ja kompaktna, če so vse njene podgrupe končne.
 
{| class=wikitable width=720
!determinanta<P>(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|- align=center
!colspan=7|[[Dinkinov diagram#Končni_Končni _Dinkinovi_diagramiDinkinovi diagrami|končne]] (determinanta>0)
|- align=center
!2
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|- align=center
!colspan=6|[[Dinkinov_diagramDinkinov diagram#Afini_Dinkinovi_diagramiAfini Dinkinovi diagrami|afine]] (determinanta=0)
|- align=center
!∞
!I<sub>2</sub>(&infin;) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{CDD|node|infin|node}}
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|- align=center valign=top
!2
|<math>{\tilde{A}}_{1}</math>=[&infin;]<P>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|<math>{\tilde{C}}_{1}</math>=[&infin;]<P>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=3|&nbsp;
|&nbsp;
! valign=top|ciklične
|-
| valign=top|[[Seznam pravilnih politopov#Hiperbolično tlakovanje|'''&infin;:''']] [p,q], 2(p+q)<pq<BR>
{{CDD|node|7|node|3|node}}<BR>
{{CDD|node|8|node|3|node}}<BR>
{{CDD|node|6|node|5|node}}<BR>
...<BR>
| valign=top|&infin; [(p,q,r)], p+q+r>9
{|
|- valign=top
!4
!9
| valign=top align=right|<div style="text-align: center;">[[Seznam pravilnih politopov#Tessellations_of_hyperbolic_3Tessellations of hyperbolic 3-space|'''3:''']]</centerdiv>
<math>{\bar{BH}}_3</math> = [4,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|5|node}}<BR>
<math>{\bar{K}}_3</math> = [5,3,5]: {{CDD|node|5|node|3|node|5|node}}<BR>
!5
!5
| valign=top align=right|<div style="text-align: center;">[[Seznam pravilnih politopov#Teselacije hiperboličnega 4-prostora|'''3:''']]</centerdiv>
<math>{\bar{H}}_4</math> = [3,3,3,5]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}<BR>
<math>{\bar{BH}}_4</math> = [4,3,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}<BR>
|- valign=top
|
* [p,&infin;] {{CDD|node|p|node|infin|node}}
* [&infin;,&infin;] {{CDD|node|infin|node|infin|node}}
|
* [(p,q,&infin;)] {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin|3}}
* [(p,&infin;,&infin;)] {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin|3}}
* [(&infin;,&infin;,&infin;)] {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin|3}}
|}
 
 
{{poliedri}}
{{normativna kontrola}}
 
[[Kategorija:Coxeterjeve grupe]]
{{normativna kontrola}}
1.540

urejanj