Möbiusov trak: razlika med redakcijama

dodanih 97 zlogov ,  pred 1 letom
m
m+/dp/+siz/slog
m (m+/dp)
m (m+/dp/+siz/slog)
 
[[Slika:Möbius strip.jpg|thumb|right|250px|Möbiusov trak]]
'''Möbiusov trák''' [mébijusov] (oziroma Möbiusova ploskev) je v [[topologija|topologiji]] (prva odkrita) enostranska in neorientabilna [[ploskev]] z [[rob (geometrija)|robom]]. Imenuje se po nemškem matematiku in astronomu [[August Ferdinand Möbius|Augustu Ferdinandu Möbiusu]], ki je bil s tem odkritjem eden od utemeljiteljev sodobne topologije. Neodvisno od njega je to ploskev istega leta [[1858 v znanosti|1858]] proučeval tudi nemški matematik [[Johann Benedict Listing]].
[[slika:Aion mosaic Glyptothek Munich W504.jpg|thumb|right|250px|Starorimski mozaik z Möbiusovim trakom]]
 
== Značilnosti ==
Möbiusov trak je zgled za [[neorientabilna ploskev|neorientabilno ploskev]]. V vsaki [[točka (geometrija)|točki]] se lahko postavi dve [[normala|normali]], ne da pa se na traku ločiti dveh normiranih normalnih polj. Če se stopi nanj v kaki ekvatorialni točki, se zravna po eni od normalnih smeri, recimo navzgor in se napoti po njegovem ravniku, se vrne v začetno točko, toda obrnjeno navzdol. Polje se zvezno spreminja vzdolž [[pot]]i in po obhodu, ob povratku v začetno točko, zavzame v njej nasprotno vrednost. Zvezno polje, v vsaki točki natanko določeno, tega ne more storiti. Na Möbiusovem traku ni polja, ki bi govorilo o usmerjenosti. Lepo sliko Möbiusovega traku se dobi, če se ga riše v parametričnih koordinatah:
 
: <math> x (u, v) = \left( 1 + \frac{v\over }{2} \cos \left( frac{u\over }{2} \right) \cos u \!\, , </math>
: <math> y (u, v) = \left( 1 + \frac{v\over }{2} \cos \left( frac{u\over }{2} \right) \sin u, \qquad
(0 <\le u < 2 \pi) \!\, , </math>
: <math> z (u, v) = \frac{v\over }{2} \sin \left( frac{u\over }{2}\right), \qquad
(-1 <\le v <\le 1) \!\, . </math>
 
S tem se dobi Möbiusov trak širine [[1 (število)|1]], katerega središčni [[krog]] ima [[polmer]] 1, leži na ravnini ''x''-''y'' in ima središče v (0, 0, 0). Parameter ''u'' teče okrog traku, ''v'' pa od enega robu do drugega.
 
V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnih polarnih koordinatah]] <math> (''r'', θ\theta, ''z'') \!\, </math> se lahko Möbiusov trak zapiše z enačbo:
 
: <math> \log r \sin \left( frac{\theta\over }{2} \right) = z \cos \left( frac{\theta\over }{2} \right) \!\, . </math>
 
== Glej tudi ==