Teorija kategorij

Teorija kategorij je področje matematike, ki obravnava kategorije in preslikave med njimi, in tako formalizira matematično strukturo ter njene koncepte s pomočjo označenega usmerjenega grafa, imenovanega kategorija, katerega točke se imenujejo objekti, označene usmerjene povezave pa puščice (ali morfizmi). Kategorija ima dve osnovni značilnosti:

• sposobnost asociativnega kompozituma puščic
• obstoj puščice identitete za vsak objekt.

Shematična komutativna predstavitev kategorije z objekti X, Y, Z in morfizmi f, g in g ∘ f. (Trije morfizmi identitet kategorije 1_X, 1_Y in 1_Z bi se, če bi se jih prikazalo eksplicitno, pojavili kot tri puščice iz črk X, Y in Z nazaj vanje.)

Jezik teorije kategorij se je rabil za formalizacijo konceptov drugih visokonivojskih abstrakcij, kot so na primer algebrske strukture množic, kolobarjev in grup. Neformalno je teorija kategorij splošna teorija funkcij.

Več izrazov, rabljenih v teoriji kategorij, vključno z izrazom »morfizem«, se rabi različno kot v preostali matematiki. V teoriji kategorij za morfizme veljajo pogoji, ki so specifični teoriji kategorij sami.

Koncept kategorij, funktorjev (posebne vrste preslikav med kategorijami) in naravnih transformacij sta uvedla Samuel Eilenberg in Saunders Mac Lane med letoma 1942 in 1945 v svoji študiji algebrske topologije z namenom razumevanja procesov, ki ohranjajo matematično strukturo.

Teorija kategorij ima več praktičnih uporab v teoriji programskih jezikov, na primer raba monad v funkcionalnem programiranju. Lahko se rabi tudi kot aksiomatska osnova matematike, kot alternativa teorije množic in drugih predlaganih osnov.

Kategorije se sedaj pojavljajo v mnogih vejah matematike, v nekaterih področjih teoretičnega računalništva, kjer lahko odgovarjajo podatkovnim tipom ali podatkovnim shemam, in matematične fizike, kjer se lahko rabijo za opis vektorskih prostorov. Teorijo kategorij se v fiziki lahko zasledi na primer že pri Jamesu Clerku Maxwellu v njegovi knjigi Snov in gibanje (Matter and motion) iz leta 1876, kjer je med drugim nakazal pomen načela relativnosti (pred teorijo relativnosti) in grupe simetrij. Raba teorije kategorij se je v fiziki 20. stoletja samo povečevala in dosegla višek z razvojem teorije strun, M-teorije in zančne kvantne gravitacije.

Prva raba teorije kategorij zunaj čiste matematike je bil verjetno model »popravljanja metabolizma« avtonomno živečih organizmov ameriškega teoretičnega biologa in biofizika Roberta Rosena.

Osnovni koncepti

Kategorije predstavljajo abstrakcije drugih matematičnih konceptov. Mnogih matematičnih področij se lahko formalizira s teorijo kategorij s kategorijami. Tako teorija kategorij s pomočjo abstrakcije lahko določi in dokaže mnogo zapletenih in skrivnostnih matematičnih rezultatov s teh področij na mnogo enostavnejši način.

Osnovni zgled kategorije je kategorija množic, kjer so objekti množice, puščice pa so funkcije (preslikave) med njimi. Objekti kategorije niso nujno množice, puščice pa ni treba, da so funkcije. Vsak takšen način formalizacije matematičnega koncepta, ki ustreza osnovnim pogojem obnašanja objektov in puščic, je veljavna kategorija – vsi rezultati teorije kategorij tudi veljajo zanj.

»Puščice« teorije kategorij velikokrat predstavljajo proces, ki povezuje dva objekta, ali v mnogo primerih »strukturo ohranjajočo« transformacijo med dvema povezanima objektoma. Obstaja sicer veliko uporab, kjer je z objekti in morfizmi predstavljenih več abstraktnih konceptov. Najpomembnejša značilnost puščic je, da imajo sposobnost »kompozicije«, ali z drugimi besedami, da so razvrščene v nizu in tvoirijo nove puščice.

Glej tudi

• teorija grup

Viri

• Awodey, Steve (2010) [2006], Category Theory, Oxford Logic Guides, zv. 49 (2. izd.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-923718-0 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Baez, John Carlos; Lauda, Aaron (18. avgust 2009), A prehistory of n-categorical physics (PDF) {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Coecke, Bob, ur. (2011), New Structures for Physics, Lecture Notes in Physics, zv. 831 (1. izd.), Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-12821-9, ISBN 978-3-642-12820-2, ISSN 0075-8450 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)
• Geroch, Robert (1985), Mathematical physics ([Repr.] izd.), Chicago: University of Chicago Press, str. 7, ISBN 978-0-226-28862-8, Omeniti je treba, da je izrek 3 dejansko lažji za kategorije v splošnem kot za posebni primer množic. Ta pojav nikakor ni redek.
• Rosen, Robert (1958), »The representation of biological systems from the standpoint of the theory of categories« (PDF), Bulletin of Mathematical Biophysics, 20: 317–341 {{citation}}: Neveljaven |ref=harv (pomoč)