Gaussov gravitacijski zakon: Razlika med redakcijama

Integralska oblika Gaussovega gravitacijskega zakona je:

 

kjer je:

: <math>\partial V</math> poljubna zaprta [[ploskev]],

Obe obliki Gaussovega gravitacijskega zakona sta matematično enakovredni. Po izreku Gaussa in Ostrogradskega je:

 

 

kjer je:

Naj ima krogelna ploskev polmer ''r'' s središčem v točkastem telesu z maso ''m''. Skupni pretok gravitacijskega polja <math>\vec\mathbf{g}</math> skozi zaprto ploskev ∂''V'' je po splošnem gravitacijskem zakonu dan z:

 

 

Velikost infinitezimalnega dela površčine <math>\mathrm{d} \vec\mathbf{A}</math> je enaka površini infinitezimalnega [[prostorski kot|prostorskega kota]] d''Ω'' dana z:

kar da:

 

 

Ker je [[skalarni produkt]] enotskega vektorja s samim seboj <math>\mathbf{\hat{e}_{r}}\cdot \mathbf{\hat{e}_{r}} = 1</math>, in, ker je integral enote skozi zaprto ploskev glede na prostorki kot površina ploskve enotske krogle 4π, velja:

 

 

kar je integralska oblika Gaussovega graviacijskega zakona za ta posebni primer.

Tudi splošni gravitacijski zakon lahko preporosto izpeljemo iz Gaussovega. Začnemo z integralsko obliko Gaussovega gravitacijskega zakona:

 

 

Uporabimo ga za slučaj, ko je prostornina ''V'' krogle s polmerom ''r'' v središču točkastega telesa z maso ''m''. Upravičeno lahko pričakujemo, da bo gravitacijsko polje iz točkastega telesa krogelno simetrično, kar tudi privzamemo.<ref>Ta predpostavka ni posledica Gaussovega gravitacijskega zakona. Nemogoče je [[matematični dokaz|matematično dokazati]] splošni gravitacijski zakon le iz Gaussovega zakona, ker ne vsebuje podatka o [[rotor]]ju <math>\vec\mathbf{g}</math> (glej [[Helmholtzova dekompozicija|Helmholtzov izrek]]). Potrebna je dodatna predpostavka, kot je ta.</ref> Po tej predpostavki ima <math>\vec\mathbf{g}</math> obliko:

kar pomeni, da je smer <math>\vec\mathbf{g}</math> vzporedna s smerjo <math>\vec\mathbf{r}</math>, in jakost <math>\vec\mathbf{g}</math> je odvisna le od velikosti, ne pa od smeri <math>\vec\mathbf{r}</math>.). Če to vstavimo in upoštevamo, da je ∂''V'' krogelna ploskev s konstantnim ''r'' in površino <math>4\pi r^{2}</math>:

 

 

: <math> g(r)(4\pi r^{2}) = -4 \pi \kappa m \!\, , </math>