Riemannova sfera: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m JPEG → SVG |
m Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Vrstica 6:
'''Riemannova sfera''' je v [[matematika|matematiki]] [[Riemannova ploskev]], razširjena na [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]]:
: <math> \widehat{\
ki se pojavlja kot kompleksna [[projektivna premica]], kot [[razsežnost|enorazsežni]] [[projektivni prostor]] <math>\
: <math> \frac{1}{0} = \infty \!\, </math>
Vrstica 20:
== Riemannova sfera kot kompleksna mnogoterost ==
Kot enorasežno kompleksno mnogoterost se lahko Riemannovo sfero opiše z dvema kartama z enako [[definicijsko območje|domeno]] kot kompleksna ravnina <math>\
: <math>\zeta = 1 / \xi \!\, ,</math>
Vrstica 29:
[[intuicija|Intuitivno]] prehodne preslikave nakazujejo kako zlepiti dve ravnini skupaj, da tvorita Riemannovo sfero. Ravnini sta zlepljeni na način »od znotraj navzven«, tako da se skoraj povsod prekrivata, vsaka od ravnin pa ima točko (svoje izhodišče), ki je druga nima. Rečeno drugače, (skoraj) vsaka točka na Riemannovi sferi ima obe vrednosti, <math>\zeta\, </math> in <math>\xi\, </math>, obe vrednosti pa sta povezani z izrazom <math>\zeta = 1 / \xi\, </math>. Točka, kjer je <math>\xi = 0\, </math>, mora potem imeti vrednost <math>\zeta\, </math>, ki je »<math>1 / 0\, </math>«. V tem smislu izhodišče karte <math>\xi\, </math> igra vlogo »<math>\infty\, </math>« v karti <math>\zeta\, </math>. [[simetrija|Simetrično]] igra izhodišče karte <math>\zeta\, </math> vlogo <math>\infty\, </math> glede na karto <math>\xi\, </math>.
Topološko je prostor, ki nastane, enotočkovna zgostitev ravnine na sfero. Riemannova sfera pa ni zgolj topološka sfera. Je sfera z dobro določeno kompleksno strukturo, tako da okrog vsake točke obstaja okolica, ki jo je moč biholomorfno poistovetiti s <math>\
Na drugi strani izrek o uniformizaciji, temeljnem pojmu klasifikacije Riemannovih ploskev, pravi, da so edine enostavno povezane enorazsežne kompleksne mnogoterosti kompleksna ravnina, [[hiperbolična ploskev]] in Riemannova sfera. Od teh je edino Riemannova sfera [[zaprta mnogoterost|zaprta ploskev]] (kompaktna ploskev brez meje). Zaradi tega dvorazsežna sfera dovoljuje, da se lahko edina kompleksna struktura pretvori v enorazsežno kompleksno mnogoterost.
| |||