Ramanovo sipanje: razlika med redakcijama

odstranjenih 74 zlogov ,  pred 2 letoma
m
Malenkostni popravki
(pravopis)
m (Malenkostni popravki)
 
Ramanovo sipanje poteka v dveh stopnjah. Najprej pride do absorpcije vpadnega fotona, ta povzroči prehod molekule iz enega vibracijskega oziroma rotacijskega stanja v drugo, energija pa se sprosti v obliki izhodnega fotona, ki ima lahko višjo oziroma nižjo frekvenco kot vpadni. Ločimo Stokesovo in anti-Stokesovo sipanje. Pri prvem molekula preide v višje vzbujeno stanje in ima izhodni foton nižjo frekvenco, torej nižjo energijo, pri drugem pa molekula izgubi energijo in ima izhodni foton večjo energijo kot vpadni. Verjetnost za posamezen proces je odvisna od števila molekul v posameznem vzbujenem stanju. Verjetnost, da se molekula nahaja v posameznem stanju, nam podaja [[Boltzmannova porazdelitev]]. Število molekul v osnovnem stanju je večje od števila molekul v vzbujenih stanjih, posledično je Stokesov proces bolj pogost.
===Ramanovo sipanje v plinih in tekočinah===
Za pline in tekočine je značilno neurejeno gibanje gradnikov. Do Brillouinovega sipanja torej ne more priti, saj je medsebojno gibanje gradnikov nekoherentno oziroma koherentnost zelo hitro padepojema z oddaljenostjo. Ramanovo sipanje pa je mogoče, saj pri njem prehajajo molekule med rotacijskimi in vibracijskimi stanji.
====Vibracijska stanja====
Vibracijska stanja opisujejo vibracijsko gibanje molekule, periodično gibanje atomov znotraj molekule, pri čemer pa ostaja celotna translacijska in rotacijska energija molekule nespremenjena. V splošnem ima molekula sestavljena iz <math> N </math> atomov <math> 3N - 6 </math> lastnih vibracijskih načinov, simetrije molekule pa to število zmanjšujejo. Pri linearni molekuli se posledično to število zmanjša na <math> 3N - 5 </math>, diatomna molekula ima torej samo en vibracijski nihajni način. Vsakemu nihajnemu načinu pripišemo kvantno število vibracije <math> \nu </math>, ki nam pove, kako vzbujen je posamezen nihajni način in določa eneregijo te vibracije <math> E_{\nu} = \hbar\omega(\nu + 1/2) </math>.
====Rotacijska stanja====
Rotacijska stanja opredeljujejo [[Vrtilna količina|vrtilno količino]] molekule in njeno rotacijsko kinetično energijo. [[Hamiltonova mehanika|Hamiltonian]], ki nam določa lastna stanja in energije zapišemo v analogiji s klasično mehaniko <math> \hat{H} = \frac{1}{2I}\hat{J}^2 </math>, kjer je <math> I </math> [[vztrajnostni moment]], odvisen od osi rotacije, in <math> \hat{J}^2 </math> operator kvadrata skupne vrtilne količine. V primeru, da so lastne funkcije zapisane v bazi z dobrim <math> J </math>, kvantnim številom skupne vrtilne količine, je energija rotacije podana z <math> E_{rot} = \frac{\hbar^2 J(J+1)}{2I} </math>.
====Izbirna pravila====
Ramanovo sipanje je dovoljeno samo v primeru, da se pri njem [[polarizabilnost]] molekule spremeni. Za vibracijske prehode mora posledično veljati <math>\frac{\partial \alpha}{\partial Q} \ne 0</math>, pri čemer je <math> Q </math> koordinata, ki opisuje vibracijo. Dovoljeni so prehodi, pri katerih je <math>\Delta\nu=\pm1</math>, kjer je <math> \nu </math> kvantno število vibracije. Pri rotacijskih prehodih pa so dovoljeni tisti, za katere velja <math>\Delta J=\pm2</math>, kjer je <math>J</math> kvantno število, ki opisuje [[Skupna vrtilna količina|skupno vrtilno količino]] molekule.
===Ramanovo sipanje v urejeni snovi===
V kristalih lahko vpadni foton vzbudi nihanja znotraj gradnikov (molekul) kot tudi nihanja celotne kristalne rešetkemreže. Posledično v kristalih ločimo Brillouinovo in Ramanovo sipanje.
====Akustična in optična veja====
Pri obeh, Brillouinovem in Ramanovem sipanju, sodelujejo [[fonon]]i, kvazidelci, ki opisujejo oscilatorno eksitacijovzbujanje kristalne mreže. Poglejmo si razlike med njimi, med fononi optične in akustične veje. Izpeljimo lastne nihajne načine na primeru enodimenzionalnega kristala in to kasneje posplošimo na tridimenzionalni primer.
====Akustična veja====
Predstavljajmo si linijoniz N atomov z maso M, katerih ravnovesne lege opisuje enodimenzionalni vektor <math> R=na </math>, kjer je n celo število. Atomi se nahajajo v ravnovesni legi samo pri [[Absolutna ničla|absolutni ničli]], pri višjih temperaturah pa začnejo nihati okoli nje. Te odmike podaja vektor <math> u(na) </math>. Med sosednjimi atomi deluje harmonski [[potencial]]
:<math> U = \frac{1}{2}K\sum[u(na) - u([n-1]a)]^2 </math>
Drugi [[Newtonovi zakoni gibanja|Newtonov zakon]] nam podaja gibalne enačbe našega sistema
:<math> M\ddot{u}(na) = -\frac{\partial U}{\partial u(na)} = -K[2u(na) - u([n-1]a) - u([n+1]a)] </math>
Pri kristalih je število delcev N zelo veliko, tako da lahko vpeljemo, kadar nas seveda ne zanimajo površinski efekti, Born-von Karmanove periodične robne pogoje
:<math> u([N+1]a) = u(a);\quad u(Na) = u(0) </math>.
Rešitev sistema gibalnih enačb iščemo z nastavkom
:<math> u(na, t) \propto e^{i(kna - \omega t)} </math>.
Z upoštevanjem periodičnih robnih pogojev določimo možne [[Valovni vektor|valovne vektorje]]
:<math> k = \frac{2\pi}{a}\frac{n}{N};\quad n \in \mathbb{Z} </math>
 
z vstavitvijo nastavka in rešitvijo sistema pa izpeljemo [[Disperzija (optika)|disperzijsko relacijo]]
:<math> \omega(k) = \sqrt{\frac{2K(1-\cos ka)}{M}} = 2\frac{K}{M}|\sin\frac{1}{2}ka| </math>
 
Za majhne valovne vektorje oziroma dolge valovne dolžine nam razvoj sinusne funkcije podaja linearno odvisnost frekvence od valovnega vektorja. Ta je značilna za [[Zvok|zvočno valovanje]], zato imenujemo dobljeno disperzijsko relacijo mrežnih nihanj akustična veja in kvazi delce, ki nosijo energijo nihanja, akustični fononi.
:<math> \omega(k) = \sqrt{\frac{2K(1-\cos ka)}{M}} = 2\frac{K}{M}|\sin\frac{1}{2}ka| </math>.
 
Za majhne valovne vektorje oziroma dolge valovne dolžine nam razvoj sinusne funkcije podaja linearno odvisnost frekvence od valovnega vektorja. Ta je značilna za [[Zvok|zvočno valovanje]], zato imenujemo dobljeno disperzijsko relacijo mrežnih nihanj akustična veja in kvazi delce, ki nosijo energijo nihanja, akustični fononi.
====Optična veja====
Obravnava mrežnih nihanj pri kristalih z bazo je malce bolj zapletena. Pri kristalih z bazo ponavljajoča enota - primitivna celica - vsebuje več kot en gradnik. Primer kristala z bazo je na primer molekulski kristal, kjer je ponavljajoča enota kar cela molekula. Kot pri izpeljavi akustične veje,Osredotočimo se osredotočimo na najpreprostejši primer, enodimenzionalni kristal z bazo, kjer bazo sestavljata dva atoma z maso M. Ravnovesne lege prvih atomov v bazi naj podaja enodimenzionalni vektor <math> na </math>, drugih pa <math> na + d </math>, pri čemer je <math> d </math> manjši od polovične medatomske razdalje <math> a/2 </math>. Odmike od ravnovesnih leg označimo z <math> u_1(na) </math> in <math> u_2(na) </math>. Harmonski potencial v tem primeru je oblike
:<math> U = \frac{K}{2}\sum[u_1(na) - u_2(na)]^2 + \frac{G}{2}\sum[u_2(na) - u_1([n+1]a)]^2 </math>
 
Potencial nam podaja dva sistema diferencialnih enačb, gibalne enačbe posebej za prve in posebej za druge delce
:<math> \begin{align}
M\ddot{u}_1(na) = -\frac{\partial U}{\partial u_1(na)} = -K[u_1(na) - u_2(na)] - G[u_1(na) - u_2([n-1]a)] \\
</math>
:[[File:Diatomic_phonons.png|right|thumb|300px|Optična in akustična veja.]]
 
Rešitve sistema iščemo z enakim nastavkom kot pri enodimenzionalnem kristalu brez baze, pri čemer imamoločimo en nastaveknastavka za prve in druge atome v bazi in enega za druge. Born-von Karmanovi periodični robni pogoji nam podajo enake dopustne vrednosti valovnega vektorja. Disperzijsko relacijo nam v tem primeru podaja kvadratna enačba, katere rešitev je oblike
:<math> \omega^2(k) = \frac{K+G}{M} \pm \frac{1}{M} \sqrt{K^2 +G^2 + 2KG\cos ka} </math>.
Za vsako od N vrednosti valovnega vektorja dobimo torej dve rešitvi, kar je razumljivo, saj se je s povečanjem števila gradnikov v primitivni celici podvojilo število prostostnih stopenj. Disperzijska relacija <math> \omega(k) </math> nam podaja dve ''veje''. Minus nam podaja akustično vejo, ki ima enako funkcijsko odvisnost kot jo ima disperzijska relacija pri monoatomnem enoatomnem kristalu. Druga rešitev nam podaja optično vejo, ki ima za razliko od akustične maksimum pri <math> k = 0 </math>, vrednost frekvence pa nato zvezno pada do <math> \sqrt{2K/M} </math>. Pri akustični veji se atoma znotraj baze gibljeta usklajeno, pri optični pa je njuno gibanje iz faze.
 
Za vsako od N vrednosti valovnega vektorja dobimo torejobstajata dve rešitvi, kar je razumljivo, saj se je s povečanjem števila gradnikov v primitivni celici podvojilo število prostostnih stopenj. Disperzijska relacija <math> \omega(k) </math> nam podaja dve ''vejeveji''. Minus nam podajaopisuje akustično vejo, ki ima enako funkcijsko odvisnost kot jo ima disperzijska relacija pri monoatomnem enoatomnem kristalu. Druga rešitev nam podajaopisuje optično vejo, ki ima za razliko od akustične maksimum pri <math> k = 0 </math>, vrednost frekvence pa nato zvezno pada do <math> \sqrt{2K/M} </math>. Pri akustični veji se atoma znotraj baze gibljeta usklajeno, pri optični pa je njuno gibanje iz faze.
====Posplošitev na tri dimenzije====
Kot smo opazili vV enodimenzionalnem primeru poliatomna baza privede do pojava optične veje. Večje kot je število atomov, ki sestavljajo bazo, več optičnih vej se pojavi. Pri tridimenzionalnem kristalu nam disperzijska relacija za vsak valovni vektor podaja <math> 3p </math> rešitev, kjer je <math> p </math> število atomov v bazi. Od teh <math> 3p </math> vej so tri akustične. Te predstavljajo [[Translacija|translacijske]] prostostne stopnje, ostalih <math> 3p - 3 </math> vej pa opisuje vibracijske prostostne stopnje <math> p </math>- atomne molekule.
====Razlika med Brillouinovim in Ramanovim sipanjem====
Pri Brillouinovem sipanju pride do vzbujanja koherentnih mrežnih nihanj, pri procesu sodelujejo akustični, nizko frekvenčni fononi. Nasprotno pri Ramanovem sipanju sodelujejo optični fononi. Pri tem pride do vzbujanja nihanj znotraj osnovne celice, znotraj molekule. Molekule posledično prehajajo v vzbujena vibracijska oziroma rotacijska stanja. Ramanovo in Brilluinovo sipanje nam dajopodata popolnoma drugo informacijo o snovi. S pomočjo prvega lahko dobimo informacijo o molekularni strukturi snovi, drugi pa opisuje lastnosti snovi na večji skali, taka lastnost je na primer elastičnost materiala.
 
==Viri==
105

urejanj