|
== Ubežna hitrost pri danem »''g''« in »''r''«==
Ubežno hitrost z Zemlje se lahko izračunamoizračuna iz [[težni pospešek|težnega pospeška]] ''g''. Ni nujno, da poznamose pozna gravitacijsko konstanto κ ali maso Zemlje ''M''. Naj je ''r'' [[Zemljin polmer]] in ''g'' težni pospešek na površini Zemlje. Nad Zemljino površino za težnosti pospešek velja [[Isaac Newton|Newton]]ov [[splošni gravitacijski zakon]]. težniTežni pospešek na višini ''s'' nad središčem Zemlje (''s'' > ''r'') je ''gm''(''r''/''s'')<sup>2</sup>. Zaradi tega je eneregijaenergija, potrebna za dvig telesa z maso ''m'' od višine ''s'' nad središčem Zemlje do višine ''s'' + ''ds'' (kjer je d''dss'' neskončno majhna razlika višine), enaka ''gm''(''r''/''s'')<sup>2</sup> d''s''. Ker izraz narašča dovolj hitro, ko se zmanjšuje višina ''s'', celotna energija, ki je potrebna za dvig telesa na neskončno višino, ne divergira do neskončnosti, temveč konvergira h končni vrednosti. Ta vrednost je integral zgornjega izraza:
''gm''(''r''/''s'')<sup>2</sup> ''ds''. Ker izraz narašča dovolj hitro, ko se zmanjšuje višina ''s'', celotna energija, ki je potrebna za dvig telesa na neskončno višino, ne divergira do neskončnosti, temveč konvergira h končni vrednosti. Ta vrednost je integral zgornjega izraza:
: <math> \begin{align} \int_r^\infty gm (r/s)^{2} \, ds\mathrm{d} s
&= gmr^2 \int_r^\infty s^{-2} \,ds \mathrm{d} s
= gmr^2 \left[-s^{-1}\right]_{s:=r}^{s:=\infty} \\
: <math> &= gmr^2\left(0-(-r^{-1})\right)=gmr \!\, . \end{align} </math> ▼</math>
▲: <math> = gmr^2\left(0-(-r^{-1})\right)=gmr \!\, . </math>
To je ''kinetična'' energija, ki jo potrebuje telo z maso ''m'', da ubeži težnosti. Kinetična energija telesa, ki se giblje s hitrostjo ''v'' je (1/2)''mv''<sup>2</sup>. Zato je:
: <math> \frac{1}{2} mv^{2}=gmr \!\, . </math>
Masa ''m'' se pokrajša in je:
| 