|
ALAHU AKBAR
{{drugipomeni}}
[[Slika:Trikotnik.png|thumb|right|250px|Trikotnik]]
'''Trikótnik''' je eden osnovnih [[geometrija|geometrijskih]] [[geometrijski lik|likov]]. Trikotnik je [[razsežnost|dvorazsežni]] lik s tremi [[oglišče|oglišči]] in s tremi [[stranica]]mi, ki so odseki treh [[premica|premic]]. Običajno z izrazom ''trikotnik'' mislimo na [[ravninska geometrija|ravninski]] lik. Na [[sfera|sferi]] govorimo npr. o [[sferni trikotnik|sfernem trikotniku]].
== Višina ==
[[višina trikotnika|Višina]] na stranico je oddaljenost oglišča od nosilke nasprotne stranice.
: <math> v_{a}=c\sin \beta =b\sin \gamma \!\, , </math>
: <math> v_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha \!\, , </math>
Alahu Akbar
: <math> v_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta \!\, . </math>
== Obseg ==
[[Obseg]] je skupna dolžina vseh treh stranic:
: <math>o=a+b+c \!\, . </math>
V nekaterih zvezah se uporablja tudi polovični obseg ([[polobseg]]), ki je označen s črko ''s'':
: <math>s=\frac{o}{2}=\frac{a+b+c}{2} \!\, . </math>
== Ploščina ==
[[Ploščina]] trikotnika je enaka polovični ploščini [[paralelogram]]a, katerega nevzporedni stranici sta dve od trikotnikovih stranic.
: <math> p=\frac{av_{a}}{2}=\frac{bv_{b}}{2}=\frac{cv_{c}}{2} \!\, . </math>
Lahko jo izračunamo tudi s [[Heronova formula|Heronovo enačbo]]:
: <math> p=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) } \!\, . </math>
Če poznamo vse tri [[notranji kot|notranje kote]] ali vse tri stranice ter polmer včrtane ali očrtane krožnice (gl. enega nadaljnjih razdelkov), jo lahko izračunamo kot:
: <math> p=2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\frac{r \left( a+b+c\right) }{2}=\frac{abc}{4R} \!\, . </math>
Če so koordinate točk ''A'', ''B'' in ''C'' v pravokotnem [[koordinatni sistem|koordinatnem sistemu]] enake
<math>A\left( x_{A},y_{A}\right) </math>,
<math>B\left( x_{B},y_{B}\right) </math> in
<math>C\left( x_{C},y_{C}\right) </math>,
se ploščina izračuna kot:
: <math>
p=\left| \frac{1}{2}
\begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1 \\
x_{B} & y_{B} & 1 \\
x_{C} & y_{C} & 1
\end{vmatrix} \right| =\frac{1}{2}\left|
x_{A}\left( y_{B}-y_{C}\right) +x_{B}\left( y_{C}-y_{A}\right) +x_{C}\left( y_{A}-y_{B}\right)
\right|
</math>
Negativna vrednost izraza pod absolutno vrednostjo pomeni, da je usmerjenost trikotnika negativna.
== Usmerjenost trikotnika ==
Če si oglišča A, B in C v tem zaporedju sledijo v smeri, ki je nasprotna smeri urinega kazalca, je trikotnik '''pozitivno''' usmerjen, v nasprotnem primeru je usmerjen '''negativno'''.
== Notranji koti ==
V vsakem ravninskem trikotniku je vsota notranjih kotov enaka iztegnjenemu kotu:
: <math> \alpha +\beta +\gamma =180^{o}=\pi \!\, . </math>
== Trikotniška neenakost ==
V vsakem neizrojenem ravninskem trikotniku velja trikotniška neenakost, ki pravi, da je vsota dolžin katerihkoli dveh stranic večja od dolžine tretje stranice. Torej:
: <math> a+b>c \!\, , </math>
: <math> a+c>b \!\, , </math>
: <math> b+c>a \!\, . </math>
== Tri posebne točke trikotnika ==
[[Slika:Trikotnik-pt.png|thumb|right|250px|Posebne točke trikotnika: središče očrtane in včrtane krožnice, težišče]]
Trikotnik ima tri klasične [[znamenite točke trikotnika|posebne]] [[točka|točke]]:
* '''središče [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]]''' (na zgornji sliki modre barve) je v sečišču [[simetrala|simetral]] vseh treh stranic. Očrtana [[krožnica]] vsebuje vsa tri oglišča
* '''središče [[včrtana krožnica|včrtane krožnice]]''' (na zgornji sliki rdeče barve) je v sečišču simetral vseh treh kotov. Včrtana krožnica se dotika vseh treh stranic, vendar jih ne seka
* '''[[težišče trikotnika|težišče]]''' (tudi ''centroid'') (na zgornji sliki zelene barve) je v sečišču [[premica|premic]], ki povezujejo oglišča z razpolovišči nasprotnih stranic.
== Polmer očrtane in včrtane krožnice ==
Polmer očrtane krožnice lahko izračunamo tako:
: <math> R \equiv r = \frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta }=\frac{c}{2\sin \gamma } \!\, . </math>
Polmer včrtane krožnice pa tako:
: <math>
r \equiv \rho = \sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=
s\mathrm{tg}\, \frac{\alpha }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\beta }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\gamma }{2}=
4R\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2} \!\, . </math>
Za razdaljo ''d'' med središčema očrtane in vrčrtane krožnice velja [[Eulerjev izrek (geometrija)|Eulerjeva trikotniška enačba]]:
: <math> d^{2} = R^{2} - 2Rr \!\, . </math>
== Druge točke trikotnika ==
[[višinska točka trikotnika|Višinska točka]] je v sečišču višin vseh treh stranic.
[[razpolovišče|Razpolovišča]] stranic in končne točke višin ležijo na krožnici, ki se imenuje [[krožnica devetih točk]] ali Eulerjeva krožnica. Njen polmer je enak polovici polmera očrtane krožnice in se dotika včrtane krožnice v [[Feuerbachova točka|Feuerbachovi točki]] in treh zunanjih krožnic.
Težišče, središče očrtane krožnice, višinska točka in središče krožnice devetih točk so [[kolinearnost|kolinearne]] in ležijo na [[Eulerjeva premica|Eulerjevi premici]]. Središče krožnice devetih točk leži na polovici med središčem včrtane in očrtane krožnice. Razdalja med težiščem ''T'' in središčem očrtane krožnice <math>S_{O}</math> je enaka polovici razdalje med težiščem in višinsko točko ''V'' in velja:
: <math> \overline{TS_{O}} = \frac{\overline{TV}}{2} \!\, . </math>
* [[Gergonnova točka]]
* [[Nagelova točka]]
== Izreki v trikotniku ==
Zveze med stranicami in koti urejajo naslednji izreki:
* [[kosinusni izrek]]
* [[sinusni izrek]]
* [[tangensni izrek]]
Drugi izreki v zvezi s trikotniki:
- trikotnik in [[prečnica]]:
* [[Menelajev izrek]] (poznal ga je že [[Evklid]])
== Zunanje povezave ==
{{Wikislovar|trikotnik|Trikotnik}}
{{Kategorija v Zbirki|Triangles}}
* {{MathWorld|urlname=Triangle|title=Triangle}}
{{-}}
{{mnogokotniki}}
[[Kategorija:Mnogokotniki]]
| 