Kvaternion: Razlika med redakcijama

'''Kvaternióni''' (množico kvaternionov označujemo s <math>\mathbb H</math>) so v [[matematika|matematiki]] sistem [[hiperkompleksno število|hiperkompleksnih]] [[število|števil]] in so [[komutativnost|nekomutativna]] razširitev [[kompleksno število|kompleksnih števil]]. Najprej so imeli kvaternione za [[patološkost (matematika)|patološke]], ker zanje ne velja [[zakon komutativnosti]] ''ab'' = ''ba'', in so jih zato poskušali čim bolj nadomestiti z [[vektor]]ji. Danes se jih uporabljamouporablja na mnogih področjih teoretične in uporabne matematike. Kvaternione je vpeljal irski matematik, fizik in astronom sir [[William Rowan Hamilton]] leta [[1843 v znanosti|1843]].

Kompleksna števila dobimose dobi, če se [[realno število|realnim številom]] dodamododa element ''i'' ([[imaginarna enota|imaginarno enoto]]), za katerega velja <math>i^2 = -1</math>, kvaternione pa, če se realnim številom dodamododa elemente ''i'', ''j'' in ''k'', za katere veljajo naslednje zveze:

Množica kvaternionov <math>\mathbb {H} \,</math> je enakovredna štiri-razsežnemuštirirazsežnemu [[vektorski prostor|vektorskemu prostoru]] nad [[realno število|realnimi števili]] <math>\mathbb {R}^4 \,</math>. Množica <math>\mathbb {H} \,</math> ima tri operacije: seštevanje ter skalarno in kvaternionsko množenje. Vsota dveh elementov množice <math>\mathbb {H} \,</math> je vsota njenih elementov iz <math>\mathbb {R}^4 \,</math>. Podobno je zmnožek elementa iz <math>\mathbb {H} \,</math> z realnim številom enak kot zmnožek v <math>\mathbb {R}^4 \,</math>. Da bi definiralise definiral zmnožek dveh elementov v <math>\mathbb {H} \,</math>, moramoje treba določiti [[baza (linearna algebra)|bazo]] v <math>\mathbb {R}^4 \,</math>. Elemente ta baze se običajno označujemooznačuje z <math> 1, i, j, k \,</math>. Vsak element iz <math>\mathbb {H} \,</math> se lahko napiše kot [[linearna kombinacija]] baznih elementov v obliki <math> a1 + bi + cj + dk \,</math>, kjer so <math> a, b, c, d \,</math> [[realno število|realna števila]]. Bazni element 1 je [[nevtralni element]] množice <math>\mathbb {H} \,</math>.

ImejmoNaj sta dva kvaterniona <math> a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k \,</math> in <math> a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k \,</math> potem je njun Hamiltonov produkt <math> (a_1 + b_1 i + c_1 j + d_1 k)(a_2 + b_2 i + c_2 j + d_2 k)\,</math> določen z zmnožkom baznih elementov in [[distributivnost|zakonom distributivnosti]]. To nam da naslednjo vrednost

Kvaternion oblike <math> a + 0i + 0j + 0k \,</math> (a je realno število), se imenuje realni del kvaterniona. Kvaternion, ki ima obliko <math> 0 + bi + cj + dk \,</math> (b, c in d so realna števila), se imenuje čisti imaginarni kvaternion. Če je <math> a + bi + cj + dk \,</math> kvaternion, se potem imenujemoimenuje <math> a</math> skalarni del kvaterniona in <math> bi + cj + dk \,</math> imenujemose imenuje vektorski del. Čeprav je vsak kvaternion vektor v štirirazsežnem vektorskem prostoru, se lahko definiramodefinira vektor kot čisti imaginarni kvaternion. S tem postane vektor isto kot element vektorskega prostora <math>\mathbb {R}^3 \,</math>.

Konjugirana vrednost kvaterniona se določi podobno kot se določi konjugirana vrednost kompleksnega števila. Kadar je kvaternion enak <math> q = a + bi + cj + dk \,</math> je njegova vrednost enaka <math> q = a - bi - cj - dk \,</math>. OznačujemoOznačuje se jo kot <math> q^{*} \,</math> ali <math> \overline q \,</math>. Konjugacija je [[involucija (matematika)|involucija]], kar pomeni, da se pri dvakratni konjugaciji dobimodobi prvotni element. Konjugacija produkta je produkt konjugiranih vrednosti v obratnem vrstnem redu. To je :

Konjugirana vrednost kvaterniona se lahko prikaže kot kombinacija množenja in seštevanja:

Obratno vrednost kvaterniona se lahko določimodoloči s pomočjo konjugirane vrednosti in norme:

[[Normanorma (matematika)|Norma]] kvaterniona je kvadratni koren iz zmnožka kvaterniona z njegovo konjugirano vrednostjo. Normo kvaterniona <math> q \,</math> kot se običajno označujemooznačuje s <math> ||q|| \,</math>. Hamilton je to vrednost imenoval [[Klasičniklasični Hamiltonov kvaternion|tenzor kvaterniona]] q, kar pa ni v skladu z modernim načinom uporabe izraza tenzor. Norma kvaterniona je :

Velja tudi :

Norma je multiplikativna, kar pomeni, da je :

S pomočjo norme se lahko določimodoloči tudi razdaljo <math> d(p, q) \,</math> med kvaternionoma <math> p \,</math> in <math> q \,</math>, ki je norma njune razlike:

Enotski kvaternion je kvaternion z normo 1. DobimoDobi se ga iz: