Laplaceov operator: Razlika med redakcijama

m
m/dp
m (m/dp)
: <math> \nabla^{2} \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi ) \!\, . </math>
 
ZapišemoZapiše se ga tudi z znakom Δ.
 
== Zapis v koordinatnih sistemih ==
kjer je sled vzeta glede na inverz [[metrični tenzor|metričnega tenzorja]]. Laplace-Beltramijev operator se lahko posploši tudi na operator (prav tako imenovan Laplace-Beltramijev operator), ki deluje na [[tenzorsko polje|tenzorska polja]] s podobnim obrazcem.
 
[[Laplace-de Rahmov operator]] deluje na prostore [[diferencialna forma|diferencilnih form]] na [[psevdoriemannova ploskev|psevdoriemannovih ploskvah]]. Z Laplace-Beltramijevim operatorjem je povezan prek [[Weitzenböckova identiteidentiteta|Weitzenböckove identitete]]. Laplace-de Rahmov operator je na Riemannovi mnogoterosti [[eliptični operator|eliptičen]], na [[Lorentzova mnogoterost|Lorentzovi mnogoterosti]] pa [[hiperbolični operator|hiperboličen]]. Določen je kot:
 
: <math> \Delta= \mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d} = (\mathrm{d}+\delta)^{2} \!\, , </math>
: <math> \Delta f = \delta \, df \!\, . </math>
 
Do skupnega predznaka je Laplace-de Rhamov operator enakovreden definiciji Laplace-Beltramijevega operatorja, ko deluje na skalarno funkcijo. Na funkcijah je Laplace-de Rhamov operator dejansko negativ Laplace-Beltramijevega operatorja, saj običajna normalizacija kodiferenciala zagotavlja, da je Laplace-de Rhamov operator (formalno) pozitivno definiten, Laplace-Beltramijev operator pa je običajno negativen. Predznak je le dogovor, v virih velikokrat se velikokrat pojavljata oba. Laplace-de Rhamov operator se precej razlikuje od tenzorskega Laplaceovega operatorja, ki je omejen na poševnosimetrične tenzorje. Poleg priložnostnega predznaka se operatorja razlikujeta z Weitzenböckovo identiteto, ki eksplicitno vsebuje [[Riccijev tenzor|Riccijev tenzor ukrivljenosti]].
 
== Sklici ==
 
{{sklici|1}}