Cantorjev diagonalni dokaz: Razlika med redakcijama

'''Cantorjev diagonalni dokaz''' je [[matematični dokaz]], s katerim je [[Georg Ferdinand Cantor]] leta [[1877 v znanosti|1877]] pokazal, da [[realno število|realnih števil]] ni [[števna množica|števno neskončno]]. To pomeni, da je realnih števil ''več'' kot [[naravno število|naravnih]], čeprav sta obe množici [[neskončnost|neskončni]].

# PrivzemimoPrivzame se (kot predpostavko, za katero bomose bo pozneje dokazalidokazalo, da mora biti napačna), da bi interval [0,1] res bil števno neskončen.

# Potem se lahko oštevilčimooštevilči vsa (realna) števila na tem intervalu v [[zaporedje]], ( ''r''₁, ''r''₂, ''r''₃, …)

# VemoVe se, da se lahko vsako od teh števil lahko predstavimopredstavi v [[desetiški zapis|desetiškem zapisu]].

# Vsa ta števila zberemose zbere v seznam (ni treba, da so v kakšnem posebnem vrstnem redu). V primeru števil, ki imajo po dva desetiška zapisa, kot npr. 0,499… = 0,500…, vzamemose vzame zapis, ki se končuje z deveticami. VzemimoVzame se, na primer, da so desetiški zapisi na začetku zaporedja takšni:

# Zdaj bomose skonstruiralibo skonstruiralo realno število ''x'' z intervala [0,1] tako, da bomose pogledalibo pogledalo ''k''-to [[števka|števko]] za desetiško vejico v [[desetiški zapis|desetiškem zapisu]] števila ''k''-tega števila, ''r''_k. Števke, ki se jih bomobo gledaligledalo, so krepke in podrčtane, da nakazujejo zakaj se temu reče '''diagonalni dokaz'''.

# Iz teh števk definirajmonaj se definira števke števila ''x'' kot sledi.

# Število ''x'' je očitno realno število (saj vsak desetiški zapis predstavlja neko realno število) na intervalu [0,1]. Za zgornje zaporedje {r_n}, na primer, dobimose dobi naslednji desetiški zapis:

# Torej mora za neki ''n'' veljati ''r''_''n'' = ''x'', saj smose predpostavilije predpostavilo, da zaporedje (''r''₁, ''r''₂, ''r''₃, …) oštevilči ''vsa'' realna števila na intervalu [0,1].

# Toda, ker smoso se v 6. koraku 4-ke in 5-ke izbraliizbralo na posebno »zloben« način, se ''x'' od ''r''_''n'' razlikuje vsaj na ''n''-tem mestu, za vsak ''n''. To pomeni, da števila ''x'' v zaporedju (''r''₁, ''r''₂, ''r''₃, …) ni!

Neposredna posledica tega rezultata je, da tudi množica vseh realnih števil '''R''' ni števna. Če bi bila '''R''' števna, bi se lahko oštevilčilioštevilčilo vsa realna števila in bi se zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], lahko dobilidobilo tako, da bi odstranilise odstranilo vsa realna števila zunaj tega intervala. Vendar smose je pravkar pokazalipokazalo, da tako zaporedje, ki bi oštevilčilo [0,1], ne more obstajati.

Lahko bi se tudi dokazalidokazalo, da sta množici [0,1] in '''R''' enako [[kardinalnost|močni]] tako, da bi se med njima konstruiralikonstruirala [[bijektivna preslikava|bijekcijobijekcija]]. Za zaprti interval [0,1] je to storiti rahlo nerodno, čeprav možno; za odprti interval (0,1) bi se lahko uporabiliuporabilo

Ljudje včasih mislijo, da je moč zgornji dokaz prilagoditi na [[celo število|cela števila]] in s tem pokazati, da so tudi ona neštevna. To skušajo storiti tako, da iz zgornjih izrazov črtajo decimalne vejice. Težava pri tem je, da neskončno zaporedje neničelnih števil ne določa celega števila. To je razlog za 7. zgordnjizgornji korak. Množica celih števil je seveda števna, zato tak dokaz ni mogoč.

Cantor je uporabil posplošeno obliko diagonalnega dokaza, da je dokazal [[Cantorjev izrek]]: za vsako [[množica|množico]] ''S'', je [[potenčna množica]] množice ''S'' - se pravi, množica vseh [[podmnožica|podmnožic]] množice ''S'' (tu se jo bomobo pisalipisalo kot '''P'''(''S'')) - [[kardinalnost|večja]] kot sama množica ''S''. Ta dokaz s protislovjem gre takole:

V vsakem primeru imamoje [[protislovje]].

Bodite pozorni na podobnost pri konstrukciji ''T'' in množice v [[RusselovRussllov paradoks|RusselovemRussllovem paradoksu]]. Cantorjev rezultat pomeni, da je pojem »[[množica vseh množic|množice vseh množic]]« v običajni [[teorija množic|teoriji množic]] nekonsistenten; če bi bila '''''S''''' res množica vseh množic, bi bila njena potenčna množica '''P'''('''''S''''') hkrati večja od '''''S''''' in podmnožica množice '''''S'''''.

Diagonalni dokaz nam pokaže, da je množica realnih števil »večja« kot množica celih števil. VprašamoVpraša se lahko, ali obstaja množica, katere [[kardinalnost]] je »vmes« med kardinalnostjo množice celih in kardinalnostjo množice realnih števil. To vprašanje nas privede do slavne [[domneva kontinuuma|domneve kontinuuma]]. Podobno nas vprašanje ali za neko množico ''s'' obstaja množica, katere kardinalnost je med močjo ''s'' in '''P'''(''s''), pripelje do [[posplošena domneva kontinuuma|posplošene domneve kontinuuma]].