Cantorjeva množica: Razlika med redakcijama

Cantorjeva množica je določena z neprestanim odstranjevanjem srednje tretjine [[daljica|daljice]]. ZačnemoZačne se z enotskim [[interval (matematika)|intervalom]] [0, 1] in odstranimose odstrani njegovo srednjo tretjino. Ostane [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. V neskončnem koraku odstranimose odstrani vse »srednje tretjine« preostalih odsekov. Cantorjeva množica vsebuje vse točke v intervalu [0, 1], ki se jih nismoni odstraniliodstranilo v tem neskončnem procesu.

Vprašanje je, kaj ostane, ko je proces končan? Če seštejemose sešteje vse dolžine odstranjenih odsekov, dobimose dobi:

: <math>\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1 \!\, . </math>

Na podlagi računa smo lahkoje presenečenipreseneteljivo, če na koncu še kaj ostane. Navsezadnje je vsota dolžin odstranjenih odsekov enaka dolžini izvirnega intervala. Če pogledamose pogleda podrobneje, vidimose vidi, da nekaj ostane, ker se z odstranjevanjem »srednjih tretjin« intervala odstranjujemoodstranjuje [[odprta množica|odprte množice]] (množice, ki ne vsebujejo krajnih [[točka|točk]]). Pri odstranitvi odseka (1/3,&nbsp;2/3) iz izvornega intervala [0,&nbsp;1] ostaneta točki 1/3 in 2/3. Točki bosta vedno v množici, in še naprej bodo v njej tudi vse takšne točke. Z zagotovostjo vemose ve, da Cantorjeva množica ni [[prazna množica|prazna]].

Lahko se pokaže, da v množici ostane enako število točk kot število odstranjenih točk. Pri tem naj sise točke v intervalu [0,&nbsp;1] mislimomisli zapisane v [[trojiški številski sistem|trojiškem]] sistemu z osnovo [[3 (število)|3]]. Na ta način se lahko 1/3 zapišemozapiše kot 0,1 in 2/3 kot 0,2. Če odstranimose odstrani vse med 1/3 in 2/3, je to isto kot če bi se v trojiškem sistemu odstraniliodstranilo vse med 0,1 in 0,2. To pomeni, da se vsako trojiškatrojiško decimalko, oblike 0,1xxxxxx, odstranimoodstrani iz množice, razen tiste, kjer je vsak ''x'' enak 0 ali vsak ''x'' 2 -– to sta krajni točki.

Ker je trojiško 0,1 = 0,02222222..., se lahko število predstavimopredstavi brez števila 1 na kateremkoli mestu. Glej [[Cantorjev diagonalni dokaz]].

V naslednjem koraku se v intervalih [0,&nbsp;0,1] in [0,2,&nbsp;1] odstranimoodstrani njuni srednji tretjini. V tem primeru odstranimose odstrani vse med 0,01 in 0,02 v prvem, in vse med 0,21 in 0,22 v drugem. Ali z drugimi besedami, vse z 1 na drugem mestu takoj za točko. Ko končamose konča, so števila, ki preostanejo tista, ki se jih trojiško lahko zapišemozapiše brez '1' na poljubnem mestu.

Če povemose pove še drugače, Cantorjeva množica vsebuje vsa števila med 0 in 1, ki se jih trojiško lahko zapišemozapiše s številkami 0 in 2. Zato se lahko števila v Cantorjevi množici preslikamopreslika v števila v [0,&nbsp;1], kjer se v trojiškem zapisu zamenjamozamenja vsako 2 z 1, in se rezultat obravnavamoobravnava [[dvojiški številski sistem|dvojiško]]. Zato je v Cantorjevi množici toliko točk, kolikor jih je v [0,&nbsp;1] in Cantorjeva množica je [[števnost|neštevna]]. Ker je množica krajnih točk odstranjenih odsekov števna, mora v Cantorjevi množici obstajati števno mnogo števil, ki niso krajne točke odsekov. Kakor je zapisano zgoraj, je en primerzgled število 1/4, ki se ga lahko trojiško zapišemozapiše kot 0,02020202020...

Cantorjeva množica je prototip [[fraktal]]a. Množica je [[samopodobnost|samopodobna]], ker je enaka dvema kopijama same sebe, če se vsako kopijo skrčimoskrči za faktor 1/3 in prestavimose prestavi. Njena [[Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost]] je enaka ln(2)/ln(3). Cantorjevo množico se lahko tvorimotvori s [[presek množic|presekom]] [[preproga Sierpińskega|preproge Sierpińskega]] z eno od njenih poljubnih telesnih [[simetrala|simetral]].

Kakor kaže zgornja vsota, je Cantorjeva množica neštevna, njena [[Lebesguova mera]] pa je enaka 0. Ker je Cantorjeva množica komplement [[unija množic|unije]] odprtih množic, je sama [[zaprta množica|zaprta]] [[podmnožica]] množice realnih števil in je zato cel [[metrični prostor]]. Ker je tudi omejena, [[Heine-Borelov izrek]] zagotavlja, da mora biti [[kompaktni prostor|kompaktna]].

IzberimoIzbere se poljubno točko v Cantorjevi množici. V njeni poljubno majhni okolici, obstaja drugo število, ki se ga lahko trojiško zapišemozapiše samo s številkami 0 in 2. Zaradi tega je vsaka točka v Cantorjevi množici [[limitna točka|zbirna točka]]. V [[topologija|topologiji]] se zaprte množice, kjer je vsaka točka zbirna, imenujejo tudi [[popolna množica|popolne množice]].

Spet izberimose izbere poljubno točko iz Cantorjeve množice, ki je sama podmnožica [[enotski interval|enotskega intervala]]. Vsaka poljubno majhna okolica te točke vsebuje odprto množico v enotskem intervalu, ki ni povezana s Cantorjevo množico. Tako je Cantorjeva množica [[nikjer gosta množica|nikjer gosta]] v enotskem intervalu in [[povezani prostor|popolnoma nepovezana]].

Cantorjeva množica je tudi homeomorfna [[p-adično število|p-adičnim celim številom]]. Če odstranimose odstrani iz nje eno točko, je homeomorfna p-adičnim številom.

Namesto odstranjevanja srednje tretjine v vsakem intervalu Cantorjeve množice, se lahko odstranjujemoodstranjuje tudi odseke v poljubnem stalnem razmerju. Vse takšne množice so homeomorfne Cantorjevi množici in njihova Lebesguova mere je enaka 0.

Z odstranjevanjem vedno manjših odsekov se lahko tvorimotvori množice, ki so homeomorfne Cantorjevi množici in imajo pozitivno Lebesguovo mero, ter so še vedno nikjer goste.