Redakcija: 13:23, 16. februar 2004 uredi Romanm (pogovor \| prispevki) Birokrati, Preverjevalci uporabnikov, Administratorji 45.224 urejanj m Aleksandr -> Aleksander ← Starejše urejanje		Redakcija: 15:20, 25. maj 2004 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m Popravki nepravilnih levih prilastkov Novejše urejanje →
Vrstica 1: '''Fraktal [[Aleksander Mihajlovič Ljapunov\|Ljapunova]] ~~fraktal~~''' je [[bifurkacija\|bifurkacijski]] [[fraktal\|fraktal]] preprostega [[biologija\|biološkega]] modela poseljenosti, razširjenega v dve [[razsežnost]]i, kjer se lahko stopnja naraščanja populacije periodično spreminja med dvema vrednostima ''a'' in ''b''. Vsak par stopnje naraščanja je voden preko transportnega modela poseljenosti. ▼ [[en:Lyapunov fractal]]▼ ▲'''[[Aleksander Mihajlovič Ljapunov\|Ljapunova]] fraktal''' je [[bifurkacija\|bifurkacijski]] [[fraktal\|fraktal]] preprostega biološkega modela poseljenosti, razširjenega v dve [[razsežnost]]i, kjer se lahko stopnja naraščanja populacije periodično spreminja med dvema vrednostima ''a'' in ''b''. Vsak par stopnje naraščanja je voden preko transportnega modela poseljenosti. Naj bo <font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font> funkcija dveh spremenljivk ''x'' in ''r''. ''r'' naj se spreminja z naraščanjem [[iteracija\|iteracij]] <font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font><sup>n</sup>,<font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font><sup>n+1</sup>,<font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font><sup>n+2</sup>... Na primer ''r'' lahko zavzame dve vrednosti ''a''&equiv;0 ali ''b''&equiv;1: Vrstica 8 ⟶ 6: kar pomeni, da si vrednosti sledijo po nekem vzorcu 01010101... Tudi drugi vzorci so možni, na primer 011011011... vendar naj bodo končni, takšni, ki se ponavljajo. Pri tem zapišemo samo prvo ponovitev. To pomeni, da zapišemo 01, če želimo vzorec 01\|01\|01\|01\|..., 011, če mislimo na 011\|011\|011\|011... Z realno funkcijo <font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font> (''x'',''r'') in z začetno vrenostjo ''x''<sub>0</sub> ter poljubnim vzorcem kot je 01011 je možnih neskončno mnogo kombinacij ''a'' ali ''b''. Te kombinacije si zamislimo na ''ab'' ravnini. Potem se za vsak par izračuna vrednost [[~~Ljapunova~~ karakteristični eksponent~~\|Ljapunovega~~ Ljapunova\|karakterističnega eksponenta Ljapunova]] λ(<font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font>,''x''). ~~Ljapunov karakteristični~~Karakteristični eksponent Ljapunova λ(<font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font>,''x'') izračunamo s prištevanjem log \|''r''- 2 ''r'' ''x''\| v več ciklih modela poseljenosti in z delitvijo številov ciklov. Negativni ~~Ljapunovi~~ karakteristični eksponenti Ljapunova kažejo na stabilno, urejeno, predvidljivo, periodično obnašanje in tvorijo rob ~~Ljapunovega~~ fraktala Ljapunova. Pozitivni pa nakazujejo raztegljiv, kaotičen ali razcepljen model, ki ostaja zunaj takšne [[množica\|množice]]. Glede na vrednost Ljapunovega karakterističnega eksponenta lahko obarvamo vsako točko posebej. Pri tem dobimo prečudovite slike, odvisno od tega kakšne vrednosti smo izbrali. Fraktali Ljapunova ~~fraktali~~ se včasih imenujejo tudi ''' ''fraktali Markus-Ljapunova ~~fraktali~~'' ''' po [[Mario Markus\|Mariu Markusu]], ki jih je prvi raziskoval v obnašanju pivskega kvasa. Markus ni obravnaval samo negativne parabole, ampak tudi funkcijo sinus: : <font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font> (''x'') = ''b'' sin<sup>2</sup>(''x''+''r'') . Takšna funkcija se ponovi po π, kar pomeni, da lahko obravnavamo samo interval [0,π], ker je zunaj tega intervala vse enako. To pomeni tudi, da je ''ab'' ravnina ponavljajoča se preslikava izhodiščnega intervala. Začetna vrednost ''x''<sub>0</sub> ni bistvena. Če je Ljapunova karakteristični eksponent začetne vrednosti ''x''<sub>0</sub> pozitiven, je velika verjetnost, da bo pozitiven tudi za ostale začetne vrednosti. Na drugi strani pa je vrednost ''b'', ki kaže strmino funkcije <font color=#6666FF> ''' ''f'' '''</font>, zelo pomembna. Čim večji je ''b'', več točk bo v ''ab'' ravnini tudi kaotično posejanih. Zelo pomemben je tudi vzorec ''a'' in ''b''. Če najpreprostejši vzorec 01 vodi k presenetljivim vrednostim. Že bolj zapleteni vzorci pa generirajo še bolj zamotano sliko v ravnini. ▲[[en:Lyapunov fractal]]

Fraktal Ljapunova: Razlika med redakcijama