Prisekani oktaeder: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/dp |
m m/dp/slog |
||
Vrstica 61:
: <math> V = \frac{1}{3}a^2h = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 \!\, . </math>
Ker se je odstranilo šest piramid, se s tem izgubi prostornino <math>\scriptstyle {\sqrt{2}a^3}</math>.
== Kartezične koordinate in permutoeder ==▼
Vse [[permutacija|permutacije]] vrednosti (0, ±1, ±2) so [[kartezični koordinatni sistem|kartezične koordinate]] oglišč [[prisekanost (geometrija)|prisekanega]] [[oktaeder|oktaedra]] z dolžino roba ''a'' = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.▼
Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice na stranske ploskve za 8 šestkotniških stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diedrskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diedrski kot je približno 1,910633 radianov (to je 109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)▼
Prisekani oktaeder se lahko prikaže tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v [[štirirazsežniprostor|štirih razsežnostih]]. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem prostoru]] ''x'' + ''y'' + ''z'' + ''w'' = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder [[permutoeder]] reda 4.▼
[[Slika:Permutohedron.svg|300px]] ▼
== Površina in prostornina ==
[[Površina]] ''P'' in [[prostornina]] ''V'' prisekanega oktaedra z dolžino roba ''a'' sta:▼
: <math> P = (6+12\sqrt{3}) a^2 \approx 26,7846097a^2 \!\, , </math>▼
: <math> V = 8\sqrt{2} a^3 \approx 11,3137085a^3 \!\, . </math>▼
== Pravokotne projekcije ==
Vrstica 97 ⟶ 114:
| [[slika:Dual cube t12.png|100px]]
|}
▲== Kartezične koordinate in permutoeder ==
▲Vse [[permutacija|permutacije]] vrednosti (0, ±1, ±2) so [[kartezični koordinatni sistem|kartezične koordinate]] oglišč [[prisekanost (geometrija)|prisekanega]] [[oktaeder|oktaedra]] z dolžino roba ''a'' = √ 2, ki leži v izhodišču. Oglišča so tako vogali 12 pravokotnikov, ki imajo daljše robove vzporedne s koordinatnimi osmi.
▲Vektorji na robovih imajo kartezične koordinate (0, ±1,±1) in njihove permutacije. Pravokotnice na stranske ploskve za šest kvadratnih stranskih ploskev so (0,0, ±1), (0, ±1, 0) in (±1,0,0). Pravokotnice na stranske ploskve za 8 šestkotniških stranskih ploskev je (±1/ 3√3, ±1/ 3√3,±1/ 3√3). Skalarni produkt dveh normal na stranske ploskve je enak kosinusu diedrskega kota med sosednjima stranskima ploskvama. To pa je -1/3 ali -1/3√3 Diedrski kot je približno 1,910633 radianov (to je 109,471 °) za robove med dvema šestkotnikoma in 2,186276 radianov (to je 125,263 °)
▲Prisekani oktaeder se lahko prikaže tudi z mnogo bolj simetričnimi koordinatami v [[štirirazsežniprostor|štirih razsežnostih]]. Vse permutacije vrednosti (1, 2, 3, 4) tvorijo oglišča prisekanega oktaedra v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem prostoru]] ''x'' + ''y'' + ''z'' + ''w'' = 10. To pa pomeni, da je prisekani oktaeder [[permutoeder]] reda 4.
▲[[Slika:Permutohedron.svg|300px]]
▲[[Površina]] ''P'' in [[prostornina]] ''V'' prisekanega oktaedra z dolžino roba ''a'' sta:
▲: <math> P = (6+12\sqrt{3}) a^2 \approx 26,7846097a^2 \!\, , </math>
▲: <math> V = 8\sqrt{2} a^3 \approx 11,3137085a^3 \!\, . </math>
== Uniformno barvanje ==
| |||