Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

odstranjenih 15 zlogov ,  pred 4 leti
m
m/dp/pnp
m (m/dp/slog)
m (m/dp/pnp)
Iz Riemannove ocene ''S''(''T'') = ''O''(log ''T'') izhaja, da so vrzeli med ničlami omejene. Littlewood je to malenkost izboljšal in pokazal, da vrzeli med njihovimi imaginarnimi deli težijo k 0.
 
=== Hadamardov in de laLa Vallée- Poussinov izrek ===
 
[[Jacques Salomon Hadamard|Hadamard]]<ref>{{sktxt|Hadamard|1896}}.</ref> in [[Charles-Jean de laLa Vallée- Poussin|de laLa Vallée- Poussin]]<ref>{{sktxt|de laLa Vallée- Poussin|1896}}.</ref> sta leta 1896 neodvisno dokazala, da nobena ničla ne more ležati na premici Re(''s'') = 1. Skupaj s funkcijsko enačbo in dejstvom, da ne obstaja nobena ničla z realnim delom večjim od 1, je to pokazalo, da morajo vse netrivialne ničle ležati v notranjosti kritičnega traku {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}}. To je bil odločilni korak v njihovih prvih dokazih praštevilskega izreka.
 
Oba izvirna dokaza, da funkcija ζ nima ničel z realnim delom enakim 1, sta podobna, in sta odvisna od razkritja, da, če se <math>\zeta (1+it)\, </math> izniči, potem je <math>\zeta (1+2it)\, </math> edina, kar ni možno. En način za to je z uporabo neenakosti:
[[Slika:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|right|thumb|250px|Razen trivialnih ničel Riemannova funkcija ζ nima ničel desno od <math>\sigma = 1\, </math> in levo od <math>\sigma = 0\, </math>. Ničle tudi ne morejo ležati preblizu teh dveh premic. Poleg tega so netrivialne ničle simetrične glede na realno os in kritično premico <math>\sigma = 1/2\, </math>. Po Riemannovi domnevi vse ležijo na njej.]]
 
De laLa Vallée- Poussin<ref>{{sktxt|de laLa Vallée- Poussin|1899–1900}}.</ref> je med letoma 1899 in 1900 dokazal, da če je <math>\sigma + i \, t\, </math> ničla Riemannove funkcije ζ, potem velja {{nowrap|1 − σ ≥ <big>{{sfrac|''C''|log(''t'')}}</big>}} za kakšno pozitivno konstanto ''C''. Z drugimi besedami ničle ne morejo biti preblizu premici {{nowrap|σ {{=}} 1:}} tam obstaja območje brez ničel blizu te premice. To območje brez ničel je več avtorjev povečalo z metodami, kot je na primer [[izrek Vinogradova o srednji vrednosti]]. Ford<ref>{{sktxt|Ford|2002}}.</ref> je leta 2002 podal različico z eksplicitnimi številskimi konstantami: <math>\zeta (\sigma + i \, t) \ne 0\, </math>, kadar je {{nowrap begin}}|''t''&thinsp;| ≥ 3{{nowrap end}} in:
 
: <math> \sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}} \!\, . </math>
* {{citat|last1= Turán|first1= Paul|authorlink1= Pál Turán|title= On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann|mr= 0027305|year= 1948|journal= Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.|volume= 24|issue= 17|pages= 36|ref= harv}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Turing|first1= Alan Mathison|authorlink1= Alan Turing|title= Some calculations of the Riemann zeta-function|doi= 10.1112/plms/s3-3.1.99|mr= 0055785|year= 1953|journal= [[Proceedings of the London Mathematical Society|Proc. London Math. Soc.]]. Third Series|volume= 3|issue= 1|pages= 99–117|ref= harv}}
* {{citat|last1= de laLa Vallée- Poussin|first1= Charles-Jean de|authorlink1= Charles-Jean de laLa Vallée- Poussin|title= Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers|journal= Ann. Soc. Sci. Bruxelles|volume= 20|year= 1896|pages= 183–256|ref= harv}}
* {{citat|last1= de laLa Vallée- Poussin|first1= Charles-Jean de|authorlink1= |title= Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée|journal= Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg.|volume= 59|issue= 1|year= 1899–1900|ref= harv}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Volčkov|first1= V. V.|title= On an equality equivalent to the Riemann hypothesis|journal= Ukrainian Mathematical Journal|date= 1995-03|volume= 47|issue= 3|pages= 491–493|doi= 10.1007/BF01056314|ref= harv}}
* {{citat|last1= Weil|first1= André|authorlink1= André Weil|title= Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent|publisher= Hermann et Cie., Paris|series= Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945)|mr= 0027151|year= 1948|ref= harv}}