Algebrska krivulja: Razlika med redakcijama

'''Algebrska krivulja''' je v [[algebrska geometrija|algebrski geometriji]] [[algebrska varieteta]] z razsežnostjo[[razsežnost]]jo 1. Teorija teh krivulj je bila razvita v [[19. stoletje|19. stoletju]].

Enostavno se lahko rečemoreče, da je krivulja algebrska, kadar se jo lahko v kartezičnih koordinatah lahko opišemoopiše kot [[polinom]] z [[realno število|realnimi]] koeficienti. Kadar pa krivulja ni algebrska, jise rečemoimenuje '''transcendentna'''.

Algebrske krivulje delimose delijo na več skupin. Za vsako skupino je značilna stopnja polinoma, ki opisuje krivuljo. Na ta način ločimose loči:

Stopnja krivulje je enaka [[stopnja polinoma|stopnji polinoma]]. Algebrske krivulje pripadajo enačbam, ki vsebujejo samo [[algebrska funkcija|algebrske funkcije]].

Algebrske krivulje so lahko tudi prostorske krivulje ali celo krivulje v večrazsežnih prostorih. Lahko se jih dobimodobi kot presečišče več kot enega polinoma, ki ima več kot dve spremenljivki. Z eliminacijo spremenljivk s pomočjo [[rezultanta dveh polinomov|rezultante dveh polinomov]] se jih lahko prevedemoprevede na ravninsko algebrsko krivuljo.

Algebrska ravninska krivulja, definirana nad [[obseg (algebra)|obsegom]] F je geometrijsko mesto točk v <math> \mathbb {F}^{2 }\, </math> določenih z najmanj <math>n - 1\, </math> neodvisnih polinomov z <math>n\, </math> spremenljivkami in s koeficienti <math> g_ig_{i}(x_1x_{1}, \dots, x_nx_{n}) \, </math> v F, kjer se krivuljo definiramodefinira tako, da postavimose postavi posamezne koeficiente enake nič <math> g_ig_{i} = 0 \, </math>.

Pogosto želimose želi, da je geometrijsko mesto točk v [[projektivni prostor|projektivnem prostoru]]. V množici enačb <math> g_ig_{i} = 0 \, </math> se lahko nadomestimonadomesti vsak <math> x_i x_{i}\, </math> z <math> x_kx_{k} / x_0 x_{0}\, </math> in množimose množi z <math> x_0x_{0}^{n }\, </math>, kjer je <math> n \, </math> stopnja <math> g_i g_{i}\, </math>. Na ta način dobimose dobi [[homogeni polinom|homogene]] polinomske funkcije, ki definirajo odgovarjajoče krivulje v projektivnem prostoru <math> \mathbb {P}^{n }\, </math>. Za ravninske algebrske krivulje imamoobstaja samo enoena enačboenačba, to je <math> f(x, y, z) = 0 \, </math>. PrimerZgled: [[Fermatova krivulja]] <math> x^{n} + y^{n} - z^{n} = 0 \, </math> je projektivna krivulja.

Druga pomembna vrsta algebrskih krivulj so [[eliptična krivulja|eliptične krivulje]], ki pa so nesingularne z rodom 1.