Wikipedija

Euler-Mascheronijeva konstanta: Razlika med redakcijama

Pregledujte zgodovino interaktivno
← Starejše urejanjeNovejše urejanje →
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
VizualnoVikibesedilo
m m/pnp
m m/dp/slog
Vrstica 21:
 
: <math>\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left(
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \right) - \ln n \right] = \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{\lfloor x\rfloor} - \frac{1}{x}\right)\, \mathrm{d} x \!\, . </math>
 
Konstanta je podana tudi zs [[posplošeni integral|posplošenim]] [[integral]]om:
 
: <math> \gamma = - \int_0int_{0}^{\infty} \frac{ \ln x \over }{e^{x }} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>
 
Njena [[desetiški številski sistem|desetiška]] vrednost je približno {{OEIS|id= A001620}}:
 
: ''γ'' ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...
: ''γ'' = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495...
 
Od 3. januarja 2008 je znanih 131,151,000 [[števka|števk]].
Vrstica 40 ⟶ 41:
== Uporaba ==
 
Euler-Mascheronijeva konstanta se med drugim pojavlja v:
 
* izrazih za [[eksponentni integral]]:
:: <math> \operatorname{Ei}\,(x) = \gamma+\ln x+
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k\; k!} \,; , \quadqquad ( x>0 ) \!\, </math>
:: <math> E_{1}(z) =-\gamma-\ln z+
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} z^{k}}{k\; k!} \, ;, \quadqquad ( \Re(z)>0 ) \!\, </math>
* [[Laplaceova transformacija|Laplaceovi transformaciji]] za [[naravni logaritem]]:
:: <math> - \frac{t_{0}}{s} \Big[ \ln(t_{0} s) + \gamma \Big] \, ;, \quadqquad ( \Re(s) > 0 ) \!\, </math>
* prvem členu razvoja Riemannove funkcije ζ s [[Taylorjeva vrsta|Taylorjevo vrsto]], kjer je prva od [[Stieltjesove konstante|Stieltjesovih konstant]] <math>\gamma_{0}</math>:
:: <math> \gamma = 1 - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \Big[ \zeta(n) - 1 \Big] \!\, </math>
Vrstica 56 ⟶ 57:
:: <math> \gamma = \psi_{0} (1) \!\, </math>
* neenakosti za [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjevo funkcijo φ]]:
:: <math> \varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}};, \quadqquad ( n > 2 ) \!\,
</math>
* stopnji rasti [[število deliteljev|števila deliteljev]]:
:: <math> \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}) \, ;, \quadqquad ( x \geq1ge 1 ) \!\, </math>
* računu [[Meissel-Mertensova konstanta|Meissel-Mertensove konstante]]
* tretjem [[Mertensovi izreki|Mertensovem izreku]]:
:: <math> \lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p\in \mathbb{P} \atop p<n}\left(1-\frac1p\right) = \frac{1}{e^{\gamma}} \!\, </math>
* v asimptotičnem približku rešitve [[Besslova funkcija|Besslove funkcije]] druge vrste
:: <math> Y_{\nu}(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrixcases}
\frac{2}{\pi} \Big[ \ln (x/2) + \gamma \Big] \, ; & \nu=0 \\ \\
-\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^{\nu} \, ; & \nu > 0
\end{matrixcases} \right. \!\, </math>
 
== Značilnosti ==
Vrstica 78 ⟶ 79:
== Viri ==
 
* {{navedi knjigocitat|lastlast1= Grasselli|firstfirst1= Jože|authorlinkauthorlink1= Jože Grasselli|title= Enciklopedija števil|year= 2008|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] - založništvo|location= Ljubljana|isbn= 978-961-212-209-6|cobiss= 243138304|ref= harv}}
* {{navedi knjigocitat|lastlast1= Havil|firstfirst1= Julian|title= Gamma: Exploring Euler's Constant|year= 2003|publisher= Princeton University Press|idisbn=ISBN 0-691-09983-9|ref= harv}}
* {{citat|last1= Krämer,|first1= Stefan|date= (2005)|title= ''Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen''.|work= Diplomska naloga, Univerza v Göttingenu.|ref= harv}}
* {{citat|last1= Sondow,|first1= Jonathan|authorlink1= (2003)Jonathan "[http://arXiv.org/abs/math.CA/0306008Sondow|date= 2003|title= An infinite product for e<sup>γ</sup> via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ.]"|arxiv= math.CA/0306008|ref= harv}}
 
== Zunanje povezave ==
Vrstica 89 ⟶ 90:
 
[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Nerešeni matematični problemi]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]
[[Kategorija:Lorenzo Mascheroni]]
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheronijeva_konstanta«