Riemannova sfera: Razlika med redakcijama

[[Slika:Stereographic projection in 3D.png|thumb|right|200px|Riemannovo sfero sise lahko predstavljamopredstavlja kot [[kompleksna ravnina|kompleksno ravnino]] napeto okrog [[kroglasfera|kroglesfere]] s kakšno vrsto [[stereografska projekcija|stereografske projekcije]]]]

[[Slika:Riemannova koule.png|thumb|right|200px|Prikaz projekcije kompleksnega števila <math>z\, </math> s kompleksne ravnine v točko <math>z'\, </math> na Riemannovi sferi]]

: <math> \widehat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\{\infty\} \!\, , </math>

ki se pojavlja kot kompleksna [[projektivna premica]], kot [[razsežnost|enorazsežni]] [[projektivni prostor]] <math>\C\mathbb{CPP}^{1}</math>. Z Riemannovo sfero se lahko razširimorazširi [[ravnina|ravnino]] [[kompleksno število|kompleksnih števil]] z dodatno [[točka v neskončnosti|točko v neskončnosti]], s katero se izrazi kot je na primer:

lepo obnašajo in so v nekaterih smislih uporabni. Sfera se imenuje po [[Bernhard Riemann|Bernhardu Riemannu]]. [[topologija|Topološko]] je kot [[mnogoterost]] [[difeomorfizem|difeomorfna]] dvorazsežni [[sfera|sferi]] <math>S^{2}\, </math>. Imenuje se tudi '''kompleksna projektivna premica''' ali '''razširjena kompleksna ravnina'''. Redkeje, predvsem v nemški literaturi, se imenuje tudi ''Riemannova številska krogla''.

Kot enorasežno kompleksno mnogoterost se lahko Riemannovo sfero opišemoopiše z dvema kartama z enako [[definicijsko območje|domeno]] kot kompleksna ravnina <math>\mathbb{C}\, </math>. Naj sta <math>\zeta</math> in <math>\xi</math> kompleksni koordinati na <math>\mathbb{C}\, </math>. PovežemoPoveže se neničelna kompleksna števila <math>\zeta\, </math> z neničelnimi kompleksnimi števili <math>\xi\, </math> s pomočjo [[atlas (topologija)|prehodnih preslikav]]:

[[intuicija|Intuitivno]] prehodne preslikave nakazujejo kako zlepiti dve ravnini skupaj, da tvorijatvorita Riemannovo sfero. Ravnini sta zlepljeni na način »od znotraj navzven«, tako da se skoraj povsod prekrivata, vsaka od ravnin pa ima točko (svoje izhodišče), ki je druga nima. Rečeno drugače, (skoraj) vsaka točka na Riemannovi sferi ima obe vrednosti, <math>\zeta\, </math> in <math>\xi\, </math>, obe vrednosti pa sta povezani z izrazom <math>\zeta = 1 / \xi\, </math>. Točka, kjer je <math>\xi = 0\, </math>, mora potem imeti vrednost <math>\zeta\, </math>, ki je »<math>1 / 0\, </math>«. V tem smislu izhodišče karte <math>\xi\, </math> igra vlogo »<math>\infty\, </math>« v karti <math>\zeta\, </math>. [[simetrija|Simetrično]] igra izhodišče karte <math>\zeta\, </math> vlogo <math>\infty\, </math> glede na karto <math>\xi\, </math>.

Topološko je prostor, ki nastane, enotočkovna zgostitev ravnine na sfero. Riemannova sfera pa ni zgolj topološka sfera. Je sfera z dobro določeno kompleksno strukturo, tako da okoliokrog vsake točke obstaja okolica, ki jo je moč biholomorfno poistovetiti s <math>\mathbb{C}\, </math>.