Kompleksna ravnina: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m m/dp |
m+/dp |
||
Vrstica 37:
in se pogosto misli o funkciji <math>f\, </math> kot transformaciji ''z''-ravnine (s koordinatama <math>(x, y)\, </math>) v ''w''-ravnino (s koordinatama <math>(u, v)\, </math>).
== Stereografske projekcije ==
{{glavni|stereografska projekcija}}
[[Slika:Stereographic projection in 3D.png|thumb|right|200px|[[Riemannova sfera]], ki preslikuje vse točke razen ene na [[sfera|sfero]] v vse točke kompleksne ravnine]]
O kompleksni ravnini je uporabno misliti tako da obsega površino [[sfera|sfere]]. Če je dana [[enotska sfera|sfera z enotskim polmerom]], se njeno središče postavi v izhodišče kompleksne ravnine, in se usmeri tako, da ekvator na sferi odgovarja [[enotska krožnica|enotski krožnici]] na ravnini, severni pol pa je »nad« ravnino.
Med točkami na površini sfere brez severnega pola in točkami v kompleksni ravnini se lahko vzpostavi [[bijektivna preslikava]]. Za poljubno točko v ravnini se nariše premica, ki jo povezuje s severnim polom na sferi. Premica bo sekala površino sfere v točno eni točki. Točka <math>z= 0\, </math> se bo projicirala na južni pol sfere. Ker notranjost enotske krožnice leži znotraj sfere, bo celotno območje (<math>|z| < 1\, </math>) preslikano na južno hemisfero. Sama enotska krožnica (<math>|z| = 1\, </math>) se bo preslikala na ekvator, zunanjost enotske krožnice (<math>|z| > 1\,</math> pa se bo preslikala na severno hemisfero brez severnega pola. Ta postopek se lahko obrne. Za poljubno točko na sferi, ki ni severni pol, se lahko nariše premica, ki jo povezuje s severnim polom in seka ravnino v točno eni točki.
Pod to stereografsko projekcijo sam severni pol ni povezan z nobeno točko v kompleksni ravnini. Bijektivna preslikava se je dopolnila z dodajanjem ene točke h kompleksni ravnini, [[točka v neskončnosti|točke v neskončnosti]], ki odgovarja severnemu polu na sferi. Ta topološki prostor, kompleksna ravnina in točka v neskončnosti, je [[Riemannova sfera|razširjena kompleksna ravnina]]. Ko se obravnava kompleksna analiza, se govori o posamezni »točki v neskončnosti.« Na [[številska premica|številski premici]] obstajata dve točki v neskončnosti (pozitivna in negativna), na razširjeni kompleksni ravnini pa je le ena.<ref>{{sktxt|Flanigan|1983|pp=305}}.</ref>
Preučiti je treba kaj se bo zgodilo s premicami širine in dolžine pri projekciji s sfere na ravnino. Premice širine ([[vzporednik]]i) so vse vzporedne z ekvatorjem, in bodo postale krožnice s središči v <math>z = 0\, </math>. Premice dolžine ([[poldnevnik]]i) pa bodo postale premice, ki potekajo skozi izhodišče (in tudi skozi »točko v neskončnosti,« ker potekajo tako skozi severni in južni pol na sferi).
To ni edino možno smiselno stereografsko stanje projekcije sfere na ravnino, ki vsebuje dve ali več vrednosti. Severni pol se lahko na primer postavi na vrh izhodišča <math>z = -1\, </math> v ravnini, ki je tangentna na krožnico. Podrobnosti v resnici niso pomembne. Vsaka stereografska projekcija sfere na ravnino bo dala eno »točko v neskončnosti« in bo preslikala premice širine in dolžine na sfero v krožnice in premice v ravnini.
== Glej tudi ==
Vrstica 55 ⟶ 69:
{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Flanigan|first1= Francis J.|title= Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions|location= |publisher= Dover|year= 1983|isbn= 0-486-61388-7|cobiss= 13142361|ref= harv}}
* {{citat|last1= Moretti|first1= Gino|title= Functions of a Complex Variable|date= 1964|location= |publisher= Prentice-Hall|cobiss= 7953672|ref= harv}}
* {{citat|last1= Wall|first1= H. S.|title= Analytic Theory of Continued Fractions|publisher= D. Van Nostrand Company|year= 1948|cobiss= 7378265|ref= harv}}. Ponatisnjeno (1973), Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.
* {{citat|last1= Whittaker|first1= Edmund Taylor|authorlink1= Edmund Taylor Whittaker|last2= Watson|first2= George Neville|authorlink2= George Neville Watson|title= A Course in Modern Analysis|edition= 4.|location= |publisher= Cambridge University Press|year= 1927|cobiss= 13813081|ref= harv}}
{{refend}}
| |||