Redakcija: 11:15, 17. junij 2013 uredi 78.153.51.97 (pogovor) →‎Zgledi: Bounded operator je omejen operator po slovensko ← Starejše urejanje		Redakcija: 14:09, 29. julij 2015 uredi razveljavi XJaM (pogovor \| prispevki) Birokrati, Administratorji 123.627 urejanj m/dp/slog Novejše urejanje →
Vrstica 1: '''Ideal''' (tudi ideal kolobarja) je v [[teorija kolobarjev\|teoriji kolobarjev]] posebna [[podmnožica]] [[kolobar (algebra)\|kolobarjev]]~~jev~~. Pojem kolobarja omogoča posplošitve nekaterih pomembnih ~~lastnosti~~značilnosti [[celo število\|celih števil]]. Pri kolobarjih se proučuje [[praideal]]e, ne pa [[praštevilo\|~~praštevil~~praštevila]]. Ideal se lahko uporabi za konstrukcijo [[kvocientni kolobar\|kvocientnih kolobarjev]] na podoben način kot se [[normalna podgrupa\|normalne podgrupe]] v [[teorija grup\|teoriji grup]] uporablja za konstrukcijo [[kvocientna grupa\|kvocientnih grup]]. Vrstica 8: == Zgodovina == Prvi je ideale predpostavil ~~[[Nemci\|~~nemški]] [[matematik]] [[Julius Wilhelm Richard Dedekind]] (~~1831 – 1916~~1831–1916). Pozneje sta jih proučevala in razširila pojem ideala še ~~[[Nemci\|~~nemški]] [[matematik]] [[David Hilbert]] (~~1862 – 1943~~1862–1943) in ~~[[Nemci\|~~nemška]] [[matematičarka]] [[Emmy Noether]] (~~1882 – 1935~~1882–1935). == Definicije == Za poljuben [[kolobar (algebra)\|kolobar]] z <math>(R,+,\cdot)</math> naj bo <math>(R,+)</math> odgovarjajoča [[kolobar (algebra)\|aditivna grupa]]. V tem primeru se podmnožica I imenuje '''dvostranski ideal''' (pogosto uporabljamo tudi izraz ''ideal'') za R, če je I aditivna podgrupa za R in ta prevzama množenje elementov iz R. ▼ ▲Za poljuben [[kolobar ~~(algebra)\|kolobar]]~~ z <math>(R,+,\cdot\, )</math> naj bo <math>(R,+)\, </math> odgovarjajoča ~~[[kolobar (algebra)\|~~aditivna grupa]]. V tem primeru se podmnožica <math>I\, </math> imenuje '''dvostranski ideal''' (pogosto ~~uporabljamo~~se uporablja tudi izraz ''ideal'') za <math>R\, </math>, če je <math>I\, </math> aditivna podgrupa za <math>R\, </math> in ta prevzama množenje elementov iz <math>R\, </math>. ~~I je ideal, če zadovoljuje naslednjim pogojem~~ # <math>(I,+)</math> je [[podgrupa]] za <math>(R,+)</math>▼ <math>I\, </math> je ideal, če zanj veljajo naslednji pogoji: # <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R :\quad x \cdot r \isin I </math>▼ # <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R : \quad r \cdot x \isin I.</math>▼ ▲# <math>(I,+)\, </math> je [[podgrupa]] za <math>(R,+)\, </math> Iz tega sledi, da je ''R'' [[bimodul\|pod-''R''-bimodul]] za ''R''.▼ ▲# <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R :\quad x \cdot r \isin I\, </math> ▲# <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R : \quad r \cdot x \isin I.\, </math>. ▲Iz tega sledi, da je ''<math>R''\, </math> [[bimodul\|pod-''R''-bimodul]] za ''<math>R''\, </math>. <ref>Glej Hazewinkel et. al. (2004), s. 4</ref> Podmnožica <math>I\, </math> v <math>R\, </math> se imenuje '''desni ideal''' za <math>R\, </math>, če je ta aditivna podgrupa za <math>R\, </math>, ki prevzame množenje na desni: # <math>(I,+)</math> je podgrupa za <math>(R,+)</math>▼ # <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad x \cdot r \isin I.</math> ▼ Podmnožica I v R, se imenuje '''levi ideal''' za R, če je aditivna podgrupa za R, ki prevzame množenje na levi: ▼ # <math>(I,+)</math> je podgrupa za <math>(R, +)</math>▼ # <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad r \cdot x \isin I.</math> ▼ ▲# <math>(I,+)\, </math> je podgrupa za <math>(R,+)\, </math> To pa pomeni, da je levi ideal za R tudi levi R-[[podmodul]] za R.▼ ▲# <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad x \cdot r \isin I.\, </math> . ▲Podmnožica <math>I\, </math> v <math>R\, </math> se imenuje '''levi ideal''' za <math>R\, </math>, če je aditivna podgrupa za <math>R\, </math>, ki prevzame množenje na levi: V obeh primerih lahko prvi pogoj zamenjamo z dobro znanim kriterijem, ki zagotavlja, da je neničelna podmnožica grupe podgrupa:▼ :1. ''I'' je [[prazne množica\|neprazna]] množica in <math>\forall_{x,y \isin I}~ x - y \isin I</math> <ref>Ker je ''R'' [[nevtralni kolobar\|nevtralen]], je dovolj, da je ''x'' + ''y'' v ''I'', ker drugi pogoj vsebuje, da je −''y'' v ''I''</ref>.▼ ▲# <math>(I,+)\, </math> je podgrupa za <math>(R, +)\, </math> Levi ideali v R so desni ideali [[nasprotni ideal\|nasprotni ideali]] v ''R''<sup>o</sup> in obratno. Dvostranski ideali so tisti levi ideali, ki so tudi desni. Kadar je R komutativni kolobar so definicije za levi, desni in dvostranski ideal enake in uporabljamo samo izraz ideal.▼ ▲# <math>\forall x \isin I, \forall r \isin R: \quad r \cdot x \isin I.\, </math> . ▲To pa pomeni, da je levi ideal za <math>R\, </math> tudi levi ''R''-[[podmodul]] za <math>R\, </math>. Tako kot so [[normalna podgrupa\|normalne podgrupe]] [[jedro (matematika)\|jedra]] za [[grupni homomorfizem]], lahko tudi leve in desne ter dvostranske ideale obravnavamo kot jedra. Za neprazne podmnožice A v R velja ▼ * A je ideal v R, če in samo, če je ta jedro kolobarjevega izomorfizma v R▼ * A je desni ideal v R, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz desnega R modula R<sub>R</sub> v drugi desni R modul▼ * A je levi ideal v R, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz levega R modula <sub>R</sub>R v drugi levi R modul. ▼ ▲V obeh primerih se lahko prvi pogoj ~~zamenjamo~~zamenja z dobro znanim kriterijem, ki zagotavlja, da je neničelna podmnožica grupe podgrupa: ~~Kadar je p v R, potem je tudi pR desni ideal in Rp je levi ideal za R. Imenujemo ju [[glavni ideal\|glavni]] levi in desni ideal, ki sta generirana s pomočjo p.~~ ~~Povezava med [[somnožica\|somnožico]] in idealom se vidi, če preklopimo operacijo iz "množenja" v "seštevanje".~~ ▲~~:1.~~# ''<math>I''\, </math> je [[~~prazne~~prazna množica\|neprazna množica]] ~~množica~~ in <math>\forall_{x,y \isin I}~ x - y \isin I\, </math>. <ref>Ker je ''<math>R''\, </math> [[nevtralni kolobar\|nevtralen]], je dovolj, da je ''<math>x'' + ''y''\, </math> v ''<math>I''\, </math>, ker drugi pogoj vsebuje, da je ~~−''~~<math>-y''\, </math> v ''<math>I''\, </~~ref~~math>.</ref> I imenujemo '''lastni ideal''', če je ta [[lastna podmnožica]] v R. To pa pomeni, da I ni enak R <ref>Lang, 2005, poglavje III.2 </ref>.▼ ▲Levi ideali v <math>R\, </math> so desni ideali [[nasprotni ideal\|nasprotni ideali]] v ~~''R''~~<~~sup~~math>R^{o}\, </~~sup~~math> in obratno. Dvostranski ideali so tisti levi ideali, ki so tudi desni. Kadar je <math>R\, </math> komutativni kolobar, so definicije za levi, desni in dvostranski ideal enake in ~~uporabljamo~~se uporablja samo izraz ideal. ▲Tako kot so [[normalna podgrupa\|normalne podgrupe]] [[jedro (matematika)\|jedra]] za [[grupni homomorfizem]], se lahko tudi leve in desne ter dvostranske ideale ~~obravnavamo~~obravnava kot jedra. Za neprazne podmnožice <math>A\, </math> v <math>R\, </math> velja ▲* <math>A\, </math> je ideal v <math>R\, </math>, če in samo, če je ta jedro kolobarjevega izomorfizma v <math>R\, </math> ▲* <math>A\, </math> je desni ideal v <math>R\, </math>, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz desnega <math>R\, </math> modula R<~~sub~~math>R_{R}\, </~~sub~~math> v drugi desni <math>R\, </math> modul ▲* <math>A\, </math> je levi ideal v <math>R\, </math>, če in samo, če je ta jedro homorfizma iz levega <math>R\, </math> modula <~~sub~~math>{}_{R}R\, </~~sub~~math>R v drugi levi <math>R\, </math> modul. Kadar je <math>p\, </math> v <math>R\, </math>, potem je tudi <math>pR\, </math> desni ideal in <math>Rp\, </math> je levi ideal za <math>R\, </math>. Imenujeta se [[glavni ideal\|glavni]] levi in desni ideal, ki sta generirana s pomočjo <math>p\, </math>. Povezava med [[somnožica\|somnožico]] in idealom se vidi, če se preklopi operacijo iz »množenja« v »seštevanje.« ▲<math>I\, </math> se ~~imenujemo~~imenuje '''lastni ideal''', če je ta [[lastna podmnožica]] v <math>R\, </math>. To pa pomeni, da <math>I\, </math> ni enak <math>R\, </math>.<ref>Lang, 2005, poglavje III.2 </ref>. == Zgledi == * parna [[celo število\|cela števila]] tvorijo ideal v kolobarju ~~'''~~<math>\Z~~'''~~\, ~~vseh~~</math> vseh celih števil. Običajno se ideal ~~označujemo~~označuje z <math>2~~'''~~\Z~~'''~~\, </math>. Podobno se za množico vseh celih števil, ki so deljiva s številom <math>n\, </math>, njihov ideal ~~označujemo~~označuje z <math>n~~'''~~\Z~~'''~~\, </math> * množica vseh [[polinom]]ov z realnimi koeficienti, ki so deljivi z x<sup>2</sup> + 1, je ideal v kolobarju vseh polinomov * množica vseh [[polinom]]ov z realnimi koeficienti, ki so deljivi z <math>x^{2}+1\, </math>, je ideal v kolobarju vseh polinomov * množica vseh [[matrika\|matrik]] <math> n \times n\, </math>, ki imajo zadnjo vrstico enako 0, tvorijo desni ideal v kolobarju vseh <math> n \times n\, </math> matrik. Ni pa to levi ideal. Množica vseh <math> n \times n\, </math>, ki imajo zadnji stolpec enak 0, tvorijo levi ideal, ne pa desnega * kolobarji <math>C (~~'''~~\R~~'''~~ )\, </math> vseh zveznih funkcij iz ~~'''~~<math>\R~~'''~~\, </math> v ~~'''~~<math>\R~~'''~~\, </math> vsebujejo ideal vseh zveznih funkcij <math>f\, ~~tako~~</math>, tako da je <math>f (1) = 0\, </math>. Drugi ideal v <math>C (~~'''~~\R~~'''~~ )\, </math> so tiste funkcije, ki izginejo za dovolj velike argumente. To so takšne zvezne funkcije <math>f\, </math> za katere obstoja takšno število <math>L > 0\, </math>, da je <math>f n(x) = 0\, </math>, kadar je <math>\|x\| > L\, </math>. * <math>\{ 0 \}\, </math> in <math>R\, </math> sta ideala v vsakem kolobarju <math>R\, </math>. Kadar je <math>R\, </math> [[kolobar deljenja]] ali je [[obseg (algebra)\|obseg]], sta to njegova edina ideala. * [[kompaktni operator\|kompaktni operatorji]] tvorijo ideal v kolobarju [[omejeni operator\|omejenih operatorjev]] == Ideal, ki ga generira množica == Naj bo <math>R\, </math> kolobar. Presek vsakega nepraznega ideala iz družine levih idealov v <math>R\, </math> je ~~zopet~~spet levi ideal v <math>R\, </math>. Kadar je <math>X\, </math> podmnožica <math>R\, </math>, potem je presek vseh levih idealov iz <math>R\, </math>, ki vsebujejo <math>X\, </math>, tudi levi ideal <math>I\, </math> iz <math>R\, </math> in vsebuje <math>X\, </math>. Ta je najmanjši levi ideal. Ideal ~~Pravimo~~<math>I\, da</math> je ~~ideal I~~ levi ideal, ki ga '''generira''' <math>X\, </math>. Podobno definicijo se lahko ~~izpeljemo~~izpelje tudi z uporabo desnega ali pa dvostranskega ideala. == Vrste idealov == Ideali so pomembni, ker se pojavljajo kot jedra [[homomorfizem kolobarjev\|homomorfizma kolobarjev]] in omogočajo definiranje [[faktorski kolobar\|faktorskih kolobarjev]]. Različne vrste idealov proučujejo, kako bi naredili različne vrste kvocientnih kolobarjev. * [[maksimalni ideal]] je lastni ideal <math>I\, </math>, če ne obstoja kakšen drugi lastni ideal <math>J\, ~~tako~~</math>, tako da je <math>I\, </math> podmnožica ideala <math>J\, </math>. * [[minimalni ideal]] je vsak neničelen ideal, ki ne vsebuje drugih neničelnih idealov * [[praideal]] je tisti lastni ideal <math>I\, </math>, če za vsak <math>a\, </math> in <math>b\, </math> iz <math>R\, </math> in je v primeru, da je <math>ab\, </math> v <math>I\, </math>, potem je vsaj eden izmed <math>a\, </math> in <math>b\, </math> v <math>I\, </math>. Faktorski kolobar prakolobarja je v splošnem prakolobar in je tudi [[integralna domena]] za komutativne kolobarje. * [[radikalni ideal]] ali [[polpraideal]] je ideal za katerega velja, da je takrat, ko je vsak <math>a\, </math> iz <math>R\, </math> in, če je vsak a<~~sup~~math>a^{n}\, </~~sup~~math> v <math>I\, </math> za poljuben <math>n\, </math>, potem je tudi <math>a\, </math> iz <math>I\, </math>. Faktorski kolobar radikalnega ideala se imenuje [[polradikalni kolobar]] za splošne kolobarje in [[reducirani kolobar]] za komutativne kolobarje. * [[primarni ideal]] je tisti ideal <math>I\, </math>, za katerega velja, da takrat, ko za vsak <math>a\, </math> in <math>b\, </math> iz <math>R\, </math> velja, da so vsi <math>ab\, </math> iz <math>I\, </math>, potem je vsaj eden od <math>a\, </math> in b<~~sup~~math>b^{n}\, </~~sup~~math> iz <math>I\, </math> za naravno število <math>n\, </math>. Vsak praideal je primarni ideal, vendar obratno ne velja. Nekateri polpraideali so praideali . * [[glavni ideal]] je ideal, ki ga generira en element. * [[končno generirani ideal]] je tisti ideal, ki je [[končno generirani modul\|končno generiran]] kot modul. * [[primitivni ideal]] je lahko levi ali desni primitivni ideal. Levi primitivni ideal je [[anihilator (matematika)\|anihilator]] enostavnih levih [[modul (matematika)\|modulov]]. Desni primitivni ideal je določen podobno. Kljub imenu sta levi in desni primitivni ideal vedno dvostranska. Primitivni ideal je vedno praideal. Kadar ~~izdelamo~~se izdela faktorski kolobar z levimi primitivnimi ideali, ti tvorijo levi [[primitivni kolobar]]. Za komutativne kolobarje so primitivni ideali maksimalni. Tako so komutativni kolobarji vedno obsegi. * [[nereducibilni ideal]] je tisti, ki ne more biti napisan kot presek idealov, ki ga vsebujejo * [[komaksimalni ideal\|komaksimalna ideala]] sta tista ideala <math>\mathfrak{i}, \mathfrak{j}\, </math> za katera velja <math>x + y = 1\, </math> <math>x + y =1\, </math> za <math>x \in \mathfrak{i}\, </math> in <math>y \in \mathfrak{j}\, </math>. * [[regularni ideal]] ima različne načine uporabe Razen tega se uporabljata še dva izraza v povezavi z ideali, čeprav to niso vedno ideali kolobarjev: * [[ulomljeni ideal]] pogosto se ga ~~definiramo~~definira takrat, ko je <math>R\, </math> komutativna domena z [[obseg ulomkov\|obsegom kvocientov]] <math>K\, </math>. Kljub imenu so ulomljeni ideali podmoduli <math>R\, </math> v <math>K\, </math> s posebno ~~lastnostjo~~značilnostjo. * [[obrnljivi ideal\|obrnljive ideale]] se pogosto ~~definiramo~~definira kot ulomljene ideale, za katere je drugi ulomljeni ideal <math>B\, </math> takšen, da velja <math>AB = BA = R\, </math>. Nekateri obrnljive ideale uporabljajo tudi za običajne ideale <math>A\, </math> in <math>B\, </math>, ki imajo ~~lastnost~~značilnost <math>AB = BA = R\, </math>, v ~~[[kolobar\|~~kolobarjih]] , ki niso [[domena (teorija kolobarjev)\|domene]] == Operacije z ideali == ~~Za <math>\mathfrak{a}</math> in <math>\mathfrak{b}</math>, ki sta ideala iz kolobarja R, velja~~ :<math>\mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \,\|\, a \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b \in \mathfrak{b}\}</math>▼ in▼ :<math>\mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \,\|\, a_i \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \mbox{ za } n=1, 2, \dots\},</math>▼ ~~To pa pomeni, da je produkt dveh idealov~~Za <math>\mathfrak{a}\, </math> in <math>\mathfrak{b}~~</math> ideal <math>~~\~~mathfrak{a} \mathfrak{b}~~, </math>, ki ~~nastane~~sta ~~z vsemi produkti oblike ab z a~~ideala iz ~~<math>\mathfrak{a}</math> in b iz~~kolobarja <math>R\~~mathfrak{b}</math>. Produkt <math>\mathfrak{a} \mathfrak{b}~~, </math>, ~~je vsebovan v preseku <math>\mathfrak{a}</math> in <math>\mathfrak{b}</math>.~~velja: ▲: <math> \mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \,\|\, a \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b \in \mathfrak{b}\} \!\, </math> Vsota in [[presek množic\|presek]] idealov je zopet ideal. [[unija množic\|unija]] dveh idealov je podmnožica vsote teh dveh idealov, ker je za vsak element a v idealu, lahko pišemo a + 0 ali 0 + a. Unija dveh idealov ni vedno ideal. ▼ ▲in: ▲: <math> \mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \,\|\, a_i \in \mathfrak{a} \mbox{ in } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \mbox{ za } n=1, 2, \dots\} \!\, . </math> To pomeni, da je produkt dveh idealov <math>\mathfrak{a}\, </math> in <math>\mathfrak{b}\, </math> ideal <math>\mathfrak{a} \mathfrak{b}\, </math>, ki nastane z vsemi produkti oblike <math>ab\, </math> z <math>a\, </math> iz <math>\mathfrak{a}\, </math> in <math>b\, </math> iz <math>\mathfrak{b}\, </math>. Produkt <math>\mathfrak{a} \mathfrak{b}\, </math> je vsebovan v preseku <math>\mathfrak{a}\, </math> in <math>\mathfrak{b}\, </math>. ▲Vsota in [[presek množic\|presek]] idealov je ~~zopet~~spet ideal. [[unija množic\|~~unija~~Unija]] dveh idealov je podmnožica vsote teh dveh idealov, ker je za vsak element <math>a\, </math> v idealu, se lahko ~~pišemo~~piše <math>a + 0\, </math> ali <math>0 + a\, </math>. Unija dveh idealov ni vedno ideal. == ~~Opombe in sklici~~Sklici == ~~{{opombe}}~~ {{sklici\|1}} == Zunanje povezave == * [http://dkum.uni-mb.si/Dokument.php?id=16858 Diplomsko delo Kolobarji polinomov in Gröbnerjeve baze na [[Univerza v Mariboru\|Univerzi v Mariboru]] ] {{ikona sl}} * {{MathWorld\|author=Moslehian, Mohammad Sal; Rowland, Todd; [[Eric Wolfgang Weisstein\|Weisstein, Eric Wolfgang]]\|urlname=Ideal\|title=Ideal}} * [http://mathworld.wolfram.com/Ideal.html Ideal na [[MathWorld]] ] {{ikona en}} * [http://conservapedia.com/Ideal_%28mathematics%29 Ideal] na [[Conservapedia]] ] {{ikona en}} [[Kategorija:Ideali]]

Ideal (teorija kolobarjev): Razlika med redakcijama