Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

m
 
Nekatere argumente za (ali proti) Riemannovi domnevi so navedli [[Peter Sarnak|Sarnak]],<ref name="sarnak_2008" /> Conrey<ref name="conrey_2003" /> in Ivić.<ref name="ivic_2008" /> Med njimi so naslednji razlogi:
* dokazali so že več analogonov Riemannove domneve. Deligneov dokaz za varietete čez končne obsege<ref name="deligne_1974" /> je verjetno najmočnejši posamezen teoretični razlog v prid Riemannovi domnevi. To zagotavlja nekaj pokazateljev za splošnejšo domnevo, da za vse funkcije ζ, povezane z avtomorfnimi formami, velja Riemannova domneva, ki vsebuje klasično Riemannovo domnevo kot posebni primer. Podobno za Selbergove funkcije ζ velja analogon Riemannove domneve in so na nek način podobne Riemannovi funkciji ζ s funkcijsko enačbo in razvoj v neskončni produkt podoben razvoju v Eulerjev produkt. Obstaja pa nekaj večjih razlik: niso na primer podane s kakšno Dirichletovo vrsto. RIemannovoRiemannovo domnevo za Gossovo funkcijo ζ je dokazal Sheats.<ref name="sheats_1998" /> Z razliko od teh pozitivnih primerov za nekatere [[Epsteinova funkcija zeta|Epsteinove funkcije ζ]] Riemannova domneva ne velja, četudi imajo neskončno število ničel na kritični premici.<ref name="titchmarsh_1986" /> Te funkcije so zelo podobne Riemannovi funkciji ζ, lahko se jih razvije s kakšno Dirichletovo vrsto in imajo funkcijsko enačbo, vendar tiste, za katere ne velja Riemannova domneva, nimajo Eulerjevega produkta in niso neposredno povezane z [[avtomorfna reprezentacija|avtomorfnimi reprezentacijami]].
* kot prvo se numerično preverjanje, da mnogo ničel leži na premici, zdi močan pokazatelj. Vendar je bilo v analitični teoriji števil veliko domnev, ki so jih podpirale velike količine numeričnih izračunov, pa so bile nepravilne. Glej [[Skewesovo število]] za značilni zgled, kje se prva izjema verjetni domnevi povezani z Riemannovo domnevo morda lahko pojavi pri približno številu 10<sup>316</sup>; protiprimer Riemannovi domnevi z imaginarnim delom takšne velikosti bi bil precej daleč proč od tega, kar se trunutnotrenutno lahko izračuna z neposrednim pristopom. Problem je, ker na obnašanje velikokrat vplivajo zelo počasi naraščajoče funkcije, kot je npr. log log ''T'', in težijo k neskončnosti, vendar zelo počasi, kar je nemogoče zaznati z računanjem. Takšne funkcije se pojavljajo v teoriji funkcij ζ in od njih je odvisno obnašanje njihovih ničel. Zgornja funkcija ''S''(''T'') ima na primer povprečno velikost (log log ''T'')<sup>1/2</sup>. Kot vrednost funkcije ''S''(''T'') naraste vsaj za 2 v kakšnem protiprimeru Riemannove domneve, bi bilo pričakovati, da se bodo protiprimeri Riemannove domneve začeli pojavljati le kadar vrednost funkcije ''S''(''T'') postane velika. Njena vrednost ni skoraj nikoli dosti večja od 3, kakor kažejo dosedanji izračuni, vendar je znano, da je neomejena, kar nakazuje, da izračuni še niso dosegli območja značilnega obnašanja funkcije ζ.
* [[Arnaud Denjoy|Denjoy]]ev verjetnostni argument za Riemannovo domnevo<ref name="edwards_1974" /> temelji na opažanju, da, če je μ(''x'') naključno zaporedje števil »1« in »−1«, potem so za vsak {{nowrap|ε > 0}} [[delna vsota|delne vsote]]: