Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 18 zlogov ,  pred 5 leti
m
Hardy<ref>{{sktxt|Hardy|1914}}.</ref> in Littlewood<ref>{{sktxt|Hardy|Littlewood|1921}}.</ref> sta leta 1914 in 1921 pokazala, da obstaja neskončno mnogo ničel na kritični premici z upoštevanjem momentov določenih funkcij povezanih s funkcijo ζ. Selberg<ref>{{sktxt|Selberg|1942}}.</ref> je leta 1942 dokazal, da vsaj (majhen) pozitiven delež ničel leži na premici. [[Norman Levinson|Levinson]]<ref>{{sktxt|Levinson|1974}}.</ref> je leta 1974 izboljšal to na eno tretjino ničel s povezavo ničel funkcije ζ s tistimi iz odvoda. Conrey<ref>{{sktxt|Conrey|1989}}.</ref> je leta 1989 to še izboljšal na dve petini ničel.
 
Večina ničel leži blizu kritične premice. [[Harald Bohr|Bohr]] in Landau<ref>{{sktxt|Bohr|Landau|1914}}.</ref> sta leta 1914 točneje pokazala, da za vsak pozitiven ε, vse ničle, vendarrazen neskončno majhenmajhnega deleždeleža ničel, leži znotraj razdalje ε od kritične premice. Ivić<ref name="ivic_1985" /> je leta 1985 dal več točnejših različic tega rezultata, in jih imenoval ''ocene z ničelno gostoto''. Te omejujejo ničle v območjih z imaginarnim delom največ ''T'' in realnim delom vsaj 1/2&nbsp;+&nbsp;ε.
 
=== Hardy-Littlewoodove domneve ===
Selberg<ref>{{sktxt|Selberg|1942}}.</ref> je leta 1942 raziskal Hardy-Littlewoodov problem 2 in dokazal, da za poljubni <math>\varepsilon > 0\, </math> obstajata takšna <math>T_{0} = T_{0}(\varepsilon) > 0\, </math> in <math>c = c(\varepsilon) > 0\, </math>, da bo za <math>T \geq T_0\, </math> in <math>H=T^{0,5+\varepsilon}\, </math> veljala neenakost <math>N(T+H)-N(T) \geq cH\log T\, </math>. Selberg je domneval, da se to lahko zoži na <math>H=T^{0,5}\, </math>. Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1984a}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1984b}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1985}}.</ref> je med letoma 1984 in 1985 dokazal, da za fiksni <math>\varepsilon\, </math>, za katerega velja pogoj <math>0 < \varepsilon < 0,001\, </math>, dovolj veliki <math>Tq, </math> in <math>H = T^{a+\varepsilon}\, </math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}\, </math>, interval <math>(T, T+H)\, </math> vsebuje vsaj <math>cH \ln T\, </math> realnih ničel Riemannove funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> in tako potrdil Selbergovo domnevo. Selbergove in Karacubove ocene se ne dajo izboljšati glede na stopnjo rasti, ko gre <math>T \to \infty\, </math>.
 
Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1992}}.</ref> je leta 1992 dokazal, da analogon Selbergove domneve velja za skoraj vse intervale <math>(T, T+H ]\, </math>, <math>H = T^{\varepsilon}\, </math>, kjer je <math>\varepsilon\, </math> poljubnoopoljubno majhno fiksno pozitivno število. Karacubova metoda dovoljuje raziskavo ničel Riemannove funkcije ζ na »superkratkih« intervalih kritične premice, to je na intervalih <math>(T, T+H ]\, </math>, dolžina <math>H\, </math>, ki se povečuje počasneje kot katerakoli, četudi poljubno majhna stopnja <maath>T\, </math>. Dokazal je še posebej, da za poljuno število <math>\varepsilon\, </math>, <math>\varepsilon_{1}\, </math>, za katerega veljajo pogoji <math>0 < \varepsilon, \varepsilon_{1} < 1\, </math>, skoraj vsi intervali <math>(T, T+H] \, </math> za <math>H \ge \exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}\, </math> vsebujejo vsaj <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}\, </math> ničel funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math>. Ta ocena je zelo blizu tisti, ki izhaja iz Riemannove domneve.
 
=== Numerični izračuni ===
: <math> \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\tfrac{s}{2})\zeta(s) \!\, </math>
 
ima enake ničle kot funkcija ζ na kritičnem traku, in je realna na kritični premici zradi funkcijske enačbe, tako da se lahko dokaže obstoj ničel točno na realni premici med dvema točkama z numeričnim preverjanjem, ali ima funkcija nasprotna predznaka v teh točkah. Po navadi se zapiše:
 
: <math> \zeta(\tfrac{1}{2} +it) = Z(t)e^{-i\theta(t)} \!\, </math>
 
kjer sta Hardyjeva funkcija [[funkcija Z|''Z'']] in [[Riemann-Sieglova funkcija theta|Riemann-Sieglova funkcija θ]] posebno definirani s tem in s pogojem, da sta gladki realni funkciji z vrednostjo <math>\theta (0) = 0\, </math>. Z iskanjem več intervalov, kjer funkcija ''Z'' spremeni predznak, se lahko pokaže, da obstaja mnogo ničel na kritični premici. Da se preveri Riemannova domneva do danega imaginarnega dela <math>T\, </math> ničel, je treba preveriti tudi, da ne obstajajo druge ničle zunaj premice v tem območju. To se lahko doseže z računanjem celotnega števila ničel v območju in s preverjanjem, ali je enako kot število ničel najdenih na premici. Na ta način se lahko preveri Riemannova domneva do poljubne vrednosti <math>T\, </math> (s tem, da se zagotovi, da so vse ničle funkcije ζ v tem območju enostavne in na kritični premici).
 
Nekateri izračuni ničel funkcije ζ so navedeni v spodnji razpredelnici. Do sedaj vse preverjene ničle ležijo na kritični premici in so enostavne. ({{efn|Mnogokratne ničle bi povzročile težave za algoritme iskanja ničel, ki so odvisni od iskanja sprememb predznaka med ničlami.)}} Za razpredelnice ničel glej delo Haselrovea in Millerja<ref>{{sktxt|Haselgrove|Miller|1960}}</ref> ali delo Odlyzka.<ref>{{harvnb|Odlyzko}}.</ref>
{| class="wikitable"
|-
|2004
|10 000 000 000 000 in nekaj z velikimi višinami (do ~10<sup>24</sup>)
|X. Gourdon<ref>{{sktxt|Gourdon|2004}}.</ref> in Patrick Demichel sta uporabila [[Odlyzko-Schönhageov algoritem]]. Preverila sta tudi dve milijardi ničel z višinami približno 10<sup>13</sup>, 10<sup>14</sup>, ... , 10<sup>24</sup>.
|}
 
|}
 
Gramova točka ''t'' je dobra, če je funkcija ζ pozitivna v 1/2 + ''it''. Indeksi »slabih« Gramovih točk, kjer ima funkcija ''Z'' »napačni« predznak, so: 126, 134, 195, 211, ... {{OEIS|id=A114856}}. Gramov blok je interval omejen z dvema dobrima Gramovima točkama, tako da so vse Gramove točke med njimi slabe. Izboljšava Gramovega zakona, imenovana Rosserjevo pravilo<ref>{{sktxt|Rosser|Yohe|Schoenfeld|1969}}.</ref> pravi, da je v Gramovih blokih pogosto pričakovano število ničel (enako kot število Gramovih intervalov), četudi v katerem od posameznih Gramovih intervalov v bloku mogoče ni točno ene ničle. Interval omejen s točkama ''g''<sub>125</sub> in ''g''<sub>127</sub> je na primer Gramov blok, ki vsebuje edino slabo Gramovo točko ''g''<sub>126</sub>, in vsebuje pričakovano število dveh ničel, čeprav v nobenem od njegovih dveh Gramovih intervalov ni posamezne ničle. Rosser je s sodelavci preveril izjeme v Rosserjevem pravilu v prvih 3.treh milijonih ničel, čeprav obstaja neskončno mnogo izjem Rosserjevega pravila na celi funkciji ζ.
 
Gramov zakon in Rosserjevo pravilo oba pravita, da v nekem smislu ničle ne zaidejo predaleč od svojih pričakovanih leg. Razdaljo ničle od njene pričakovane lege podaja funkcija ''S'' definirana zgoraj. Ta raste izredno počasi: njena povprečna vrednost je reda (log log ''T'')<sup>1/2</sup> in doseže vrednost 2 šele za T približno 10<sup>24</sup>. To pomeni, da obe pravili veljata večino časa za majhne ''T'', pogosto pa ne veljata. Trudgian<ref>{{sktxt|Trudgian|2011}}.</ref> je leta 2011 res pokazal, da Gramov zakon in Rosserjevo pravilo ne veljata v pozitivnem deležu primerov. Pričakuje se, da bosta v približno 73 % primerov posamezno ničlo obkrožali dve zaporedni Gramovi točki, v 14 % primerov nobena, v 13 % primerov pa sta sčasoma dve ničli v takšnem Gramovem intervalu.