Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 13 zlogov ,  pred 5 leti
m
lektura #3
m (lektura #2; preoblikovanje določenih stavkov v opombe)
m (lektura #3)
=== Porazdelitev praštevil ===
 
[[eksplicitneEksplicitne formule (L-funkcija)|Riemannova eksplicitna formula]] za število praštevil, mnjihmanjših od danega števila, s členi vsote prek vseh ničel Riemannove funkcije ζ pravi, da velikost nihanj praštevil okrog njihovih pričakovanih leg nadzorujejo realni deli ničel funkcije ζ. Še posebej je člen napake v [[praštevilski izrek|praštevilskem izreku]] tesno povezan z legami ničel. Na primer [[supremum]] realnih delov ničel je [[infimum]] takšnih števil β, da je napaka O(''x''<sup>β</sup>).<ref>{{sktxt|Ingham|1932}}.</ref>
 
[[Helge von Koch|Von Koch]] je leta 1901 dokazal, da Riemannova domneva nakazuje »najbolj možno« mejo napake za praštevilski izrek.<ref>{{sktxt|von Koch|1901}}.</ref>
=== Funkcijski obsegi in funkcije ζ varietet končnih obsegov ===
 
[[Emil Artin|Artin]]<ref>{{sktxt|Artin|1924}}.</ref> je leta 1924 vpeljal globalne funkcije ζ (kvadratnih) [[funkcijski obseg algebrske varietete|funkcijskih obsegov]] in zanje postavil analogon Riemannove domneve. Dokazal ga je [[Helmut Hasse|Hasse]] za primer roda 1, v splošnem pa [[André Weil|Weil]] leta 1948.<ref>{{sktxt|Weil|1948}}.</ref>. Dejstvo, da je absolutna vrednost [[kvadratna Gaussova vsota|Gaussove vsote]] kvadratnega karakterja [[končni obseg|končnega obsega]] velikosti ''q'' (kjer je ''q'' lih) enaka:
 
: <math> \sqrt{q} \!\, , </math>
=== Iharove funkcije ζ ===
 
[[Iharova funkcija zeta|Iharova funkcija ζ]] končnega grafa je analogon Selbergove funkcije ζ, ki jo je prvič uvedel [[Jasutaka Ihara|Ihara]] v kontekstu diskretnih podgruppodskupin p-adične specialne linearne grupe dva krat dva. Regularni končni graf je [[Ramanudžanov graf]], matematični model učinkovitih komunikacijskih mrež, če in samo če za Iharovo funkcijo ζ velja analogon Riemannove domneve, kot je pokazal [[Tošikazu Sunada|Sunada]].
 
=== Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji ===
Hilbert in [[George Pólya|Pólya]] sta predlagala eno pot za rešitev Riemannove domneve, kjer bi se našel [[sebiadjungirani operator]], iz katerega obstoja bi izhajala izjava o realnih delih funkcije ζ(''s''), če bi se uporabil kriterij na realne [[lastna vrednost|lastne vrednosti]]. Ena podpora te zamisli izhaja iz več analogonov Riemannove funkcije ζ, katere ničle odgovarjajo lastnim vrednostim kakšnega operatorja: ničle funkcije ζ varietete čez končni obseg odgovarjajo lastnim vrednostim [[Frobeniusov element|Frobeniusovega elementa]] na grupi [[kohomologija étale|kohomologije étale]], ničle Selbergove funkcije ζ so lastne vrednosti Laplaceovega operatoraja Riemannove ploskve, ničle [[p-adična funkcija zeta|''p''-adične funkcije ζ]] pa odgovarjajo lastnim vrednostim Galoisove akcije na [[grupa idealnega razreda|grupah idealnih razredov]].
 
Odlyzko<ref name="odlyzko_1987" /> je leta 1987 pokazal, da porazdelitev ničel Riemannove funkcije ζ deli nekatere statistične značilnosti z lastnimi vrednostmi [[slučajna matrika|slučajnih matrik]], izvedenih iz [[gaussovski enotski ansambel|gaussovskega enotskega ansambla]]. To da nekaj podpore Hilbert-Pólyevi domnevi.
 
[[Michael Victor Berry|Berry]] in [[Jon Keating|Keating]] sta leta 1999 domnevala, da obstaja neka neznana kvantizacija <math>\hat H\, </math> klasične [[Hamiltonova funkcija|Hamiltonove funkcije]] ''H'' = ''xp'', da velja:
: <math> V^{-1}(x) = \sqrt{4\pi} \frac{\mathrm{d}^{1/2}N(x)}{\mathrm{d} x^{1/2}} \!\, . </math>
 
To vodi do Hamiltonove funkcije, katere lastne vrednosti so kvadrat imaginarnega dela ničel Riemannove funkcije ζ in tudi funkcijska determinanta tega Hamiltonovega operatorja je samo [[Riemannova funkcija ksi|Riemanova funkcija ξ]]. Dejansko bo Riemannova funkcija ξ sorazmerna s funkcijsko determinanto (Hadamardov produkt):
 
: <math> \det(H+1/4+s(s-1)) \!\, , </math>
=== Aritmetične funkcije ζ modelov eliptičnih krivulj številskih obsegov ===
 
Če se prestopi iz geometrične razsežnosti 1, na primer obsega algebrskih števil, na geometrično razsežnost 2, na primer model eliptične krivulje čez številski obseg, dvarazsežnidvorazsežni del posplošene Riemannove domneve za aritmetično funkcijo ζ modela obravnava pole funkcije ζ. V razsežnosti 1 raziskovanje integrala ζ v [[tateova disertacija|tateovi disertaciji]] ne vodi do novih pomembnih informacij o Riemannovi domnevi. V nasprotju s tem, [[Ivan Borisovič fesenko|Fesenkovo]] delo v razsežnosti 2 o dvorazsežni posplošitvi Tateove disertacije vsebuje integralsko reprezentacijo integrala ζ, ki je tesno povezan s funkcijo ζ. V teh novih razmerah, ki v razsežnosti 1 niso možne, se lahko poli funkcije ζ raziskujejo prek integrala ζ in priključenih adelskih grup. Sorodna Fesenkova domneva<ref>{{sktxt|Fesenko|2010}}.</ref> iz leta 2010 o pozitivnosti četrtega odvoda mejne funkcije povezane z integralom ζ bistveno nakazuje polov del posplošene Riemannove domneve. Suzuki <ref>{{sktxt|Suzuki|2011}}.</ref> je leta 2011 dokazal, da zadnje skupaj z nekaterimi tehničnimi privzetki nakazuje Fesenkovo domnevo.
 
=== Mnogokratne funkcije ζ ===
: <math> \int_0^T|S(t)|^{2k}dt = \frac{(2k)!}{k!(2\pi)^{2k}}T(\log \log T)^k + \mathcal{O} (T(\log \log T)^{k-1/2}) \!\, . </math>
 
To nakazuje, da je ''S''(''T'')/(log log ''T'')<sup>1/2</sup> podobno [[normalna porazdelitev|gaussovski slučajni spremenljivki]] s [[srednja vrednost|povprečjem]] 0 in [[varianca|varianco]] 2π<sup>2</sup>. To dejstvo je dokazal Ghosh leta 1983.<ref>{{sktxt|Ghosh|1983}}.</ref> Še posebej je |''S''(''T'')| po navadi približno okrog (log log ''T'')<sup>1/2</sup>, občasno pa je veliko večja. Točna stopnja rasti ''S''(''T'') ni znana. Ne obstaja brezpogojna izboljšava Riemannove izvirne meje ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T''), čeprav iz Riemannove domneve izhaja rahlo manjša meja ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T''/log log ''T'').<ref name="titchmarsh_1986" /> Prava stopnja velikosti je lahko malo manjša od tega, ker imajo slučajne funkcije z enako porazdelitvijo kot ''S''(''T'') rast reda približno log(''T'')<sup>1/2</sup>. V drugi smeri ne more bitbiti premajhna: Selberg<ref>{{sktxt|Selberg|1946}}.</ref> je leta 1946 pokazal, da {{nowrap|''S''(''T'') ≠ o((log ''T'')<sup>1/3</sup>/(log log ''T'')<sup>7/3</sup>)}}, in s privzetkom pravilnosti Riemannove domneve je Montgomery pokazal, da {{nowrap|''S''(''T'') ≠ o((log ''T'')<sup>1/2</sup>/(log log ''T'')<sup>1/2</sup>)}}.
 
Numerični izračuni potrjujejo, da ''S'' raste zelo počasi: |''S''(''T'')|&nbsp;&lt;&nbsp;1 za {{nowrap|''T'' < 280}}, |''S''(''T'')|&nbsp;&lt;&nbsp;2 za ''T''&nbsp;&lt;&nbsp;6&nbsp;800&nbsp;000, največja vrednost |''S''(''T'')| najdena do sedaj je veliko večja kot 3.<ref>{{sktxt|Odlyzko|2002}}.</ref>
 
Iz Riemannove ocene ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T'') izhaja, da so vrzeli med ničlami omejene. Littlewood je to malenkost izboljšal in pokazal, da vrzeli med njihovimi imaginarnimi deli težitežijo k 0.
 
=== Hadamardov in de la Vallée-Poussinov izrek ===
 
[[Jacques Hadamard|Hadamard]]<ref>{{sktxt|Hadamard|1896}}.</ref> in [[Charles-Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée-Poussin]]<ref>{{sktxt|de la Vallée-Poussin|1896}}.</ref> sta leta 1896 neodvisno dokazala, da nobena ničla ne more ležati na premici Re(''s'') = 1. Skupaj s funkcijsko enačbo in dejstvom, da ne obstaja nobena ničla z realnim delom večjim od 1, je to pokazalo, da morajo vse netrivialne ničle ležajiležati v notranjosti kritičnega traku {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}}. To je bil odločilni korak v njhivihnjihovih prvih dokazih praštevilskega izreka.
 
Oba izvirna dokaza, da funkcija ζ nima ničel z realnim delom enakim 1, sta podobna, in sta odvisna od razkritja, da, če se <math>\zeta (1+it)\, </math> izniči, potem je <math>\zeta (1+2it)\, </math> edina, kar ni možno. En način za to je z uporabo neenakosti:
[[Slika:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|right|thumb|250px|Razen trivialnih ničel Riemannova funkcija ζ nima ničel desno od <math>\sigma = 1\, </math> in levo od <math>\sigma = 0\, </math>. Ničle tudi ne morejo ležati preblizu teh dveh premic. Poleg tega so netrivialne ničle simetrične glede na realno os in kritično premico <math>\sigma = 1/2\, </math>. Po Riemannovi domnevi vse ležijo na njej.]]
 
De la Vallée-Poussin<ref>{{sktxt|de la Vallée-Poussin|1899–1900}}.</ref> je med letoma 1899 in 1900 dokazal, da, če je <math>\sigma + i \, t\, </math> ničla Riemannove funkcije ζ, potem velja {{nowrap|1 − σ ≥ <big>{{sfrac|''C''|log(''t'')}}</big>}} za kakšno pozitivno konstanto ''C''. Z drugimi besedami ničle ne morejo biti preblizu premici {{nowrap|σ {{=}} 1:}} tam obstaja območje brez ničel blizu te premice. To območje brez ničel je več avtorjev povečalo z metodami, kot je na primer [[izrek Vinogradova o srednji vrednosti]]. Ford<ref>{{sktxt|Ford|2002}}.</ref> je leta 2002 podal različico z eksplicitnimi številskimi konstantami: <math>\zeta (\sigma + i \, t) \ne 0\, </math>, kadar je {{nowrap begin}}|''t''&thinsp;| ≥ 3{{nowrap end}} in:
 
: <math> \sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}} \!\, . </math>