Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m lektura #2; preoblikovanje določenih stavkov v opombe
Vrstica 104:
== Ozadje in zgodovina ==
 
{{quote box|align=right|width=30%|quote=»{{jezik|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}«<br /><br />»…zelo verjetno je, da so vse ničle reaalnerealne. Seveda je želja imeti tukaj dokaz; sam sem do sedaj po nekaj bežnih neuspešnih poskusih začasno dal na stran iskanje zanj, ker je verjetno nebistven za naslednji cilj moje raziskave.«|source=Riemannova izjava Riemannove domneve iz članka.<ref name="riemann_1859" /> (Obravnaval je različico funkcije ζ, modificirano tako, da so njene ničle realne in ne ležijo na kritični premici.)}}
[[Slika:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf|thumb|right|250px|Prva stran [[Bernhard Riemann|Riemannovega]] članka ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') iz leta 1859]]
 
Vrstica 127:
: <math> \operatorname{Li} (x) = \int_0^{x} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \!\, . </math>
 
Za členeČlene funkcije Li(''x''<sup>ρ</sup>), ki vsebujejo ničle funkcije ζ, je treba previdno definirati, ker ima funkcija Li [[točka vejitve|točki vejitve]] v 0 in 1, in so definirani (za ''x''&nbsp;>&nbsp;1) z analitičnim nadaljevanjem kompleksne spremenljivke ρ v območju Re(ρ)&nbsp;>&nbsp;0, kar pomeni, da jih je treba obravnavati kot [[eksponentni integral|Ei]](ρ ln ''x''). Tudi drugi členi odgovarjajo ničlam: prevladujoči člen funkcije Li(''x'') izhaja iz pola v ''s''&nbsp;=&nbsp;1, če se ga obravnava kot ničla multiplikativnosti −1, preostali manjši členi pa izhajajo iz trivialnih ničel. Za nekatere grafe vsot prvih členov te vrste glej Riesel; Göhl<ref>{{sktxt|Riesel|Göhl|1970}}.</ref> ali Zagier.<ref>{{sktxt|Zagier|1977}}.</ref>
 
Ta formula prvipravi, da ničle Riemannove funkcije ζ nadzorujejo nihanja praštevil okrog njihovih »pričakovanih« leg. Riemann je vedel, da so netrivialne ničle funkcije ζ simetrično porazdeljene okrog premice {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2 + ''it'',}} inprav tako je vedel, da morajo vse njene netrivialne ničle ležati v območju {{nowrap|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1.}} Preveril je, da nekatere ničle ležijo na kritični premici z realnim delom enakim 1/2 in predlagal, da vse ležijo tam, kar je tudi domneva sama.
 
== Posledice Riemannove domneve ==
Vrstica 167:
: <math> M(x) = \mathcal{O} (x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}) \!\, </math>
 
za vsak pozitiven ε, enakovredna Riemannovi domnevi (.{{efn|[[John Edensor Littlewood|Littlewood]], 1912; glej na primer razdelek 14.25 v Titchmarshevem delu.<ref name="titchmarsh_1986" />). (}}{{efn|Za pomen teh simbolov glej [[O notacija|Landauov simbol]].)}} Determinanta [[Redhefferjeva matrika|Redhefferjeve matrike]] reda ''n'' je enaka ''M''(''n''), tako da se lahko Riemannova domneva izrazi kot pogoj za rast teh determinant. Riemannova domneva da precej ozko mejo rasti ''M'', ker sta [[Andrew Michael Odlyzko|Odlyzko]] in [[Herman te Riele|te Riele]] leta 1985 dokazala nepravilnost malo močnejše [[Mertensova domneva|Mertensove domneve]]:<ref>{{sktxt|Odlyzko|te Riele|1985}}.</ref>
 
: <math> |M(x)| \le \sqrt x \!\, . </math>
Vrstica 223:
: <math> g_{n} = \mathcal{O} (\sqrt{p} \log p) \!\, . </math>
 
To je primer, v katerem je tudi najboljša meja, ki se jo lahko dokaže s pravilnostjo Riemannove domneve, veliko šibkejša od tistega, kar se zdi resnično: [[Cramérjeva domneva]] pravi, da je vsaka vrzel med zaporednima prašteviloma enaka:
 
: <math> g_{n} = \mathcal{O} ((\log p_n)^2) \!\, , </math>
Vrstica 330:
* Weinberger<ref>{{sktxt|Weinberger|1973}}.</ref> je leta 1973 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve za funkcije ζ vseh obsegov argebrskih števil izhaja, da je vsak obseg z razrednim številom 1 ali [[evklidska domena|evklidski]] ali imaginarni kvadratni številski obseg diskriminant −19, −43, −67 ali −163.
* [[Gary Lee Miller|Miller]] je leta 1976 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da se lahko iz [[test praštevilskosti|testa praštevilskosti]] v polinomskem času preskusi ali je število praštevilo s pomočjo [[Miller-Rabinov test praštevilskosti|Miller-Rabinovega testa]]. [[Manindra Agraval|Agraval]], [[Niradž Kajal|Kajal]] in [[Nitin Saksena|Saksena]] so leta 2002 dokazali ta rezultat brezpogojno s pomočjo [[test praštevilskosti AKS|testa praštevilskosti AKS]].
* Odlyzko<ref>{{sktxt|Odlyzko|1990}}.</ref> je leta 1990 obravnaval, kako se lahko posplošeno Riemannovo domnevo uporabi za ostrejše ocene diskriminant in [[razredno število|razrednega števila]] številskih obsegov.
* [[Ken Ono|Ono]] in [[Kannan Soundararajan|Soundararajan]]<ref>{{sktxt|Ono|Soundararajan|1997}}.</ref> sta leta 1997 pokazala, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da obstaja točno 18 lihih celih števil, ki niso oblike [[Ramanudžanova tričlena kvadratna forma|Ramanudžanove integralske kvadratne forme]] ''x''<sup>2</sup> +''y''<sup>2</sup> + 10''z''<sup>2</sup>: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.
 
Vrstica 337:
Nekatere posledice Riemannove domneve so tudi posledice njene negacije, in so zato izreki. V svoji razpravi o izrekih Hecheja, Deuringa, Mordella in Heilbronna Ireland in [[Michael Ira Rosen|Rosen]] pravita:<ref>{{sktxt|Ireland|Rosen|1990|p=359}}.</ref>
 
<blockquote>»Tukaj je metoda dokaza resnično neverjetna. Če je posplošena Riemannova domneva pravilna, potem je izrek pravilen. Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna, potem je izrek pravilen. Zato je izrek pravilen!!« &nbsp; &nbsp; (klicaja sta v izvirniku)</blockquote>
 
Treba je biti previden pri razumevanju kaj je mišljeno, da je posplošena Riemannova domneva nepravilna: treba je točno navesti kateri razred Dirichletovih vrst ima [[protiprimer]].
Vrstica 343:
==== Littlewoodov izrek ====
 
Izrek obravnava predznak napake v praštevilskem izreku. Izračunali so, da je funkcija števila praštevil π(''x'') < Li(''x'') za vse ''x'' ≤ 10<sup>23</sup>. Ni znana nobena vrednost ''x'', za katero bi veljalo π(''x'') > Li(''x'').
 
Littlewood je leta 1914 dokazal, da obstajajo poljubno velike vrednosti ''x'' za katere velja:
Vrstica 369:
<blockquote>Izrek (Deuring; 1933). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem je ''h''(''D'') > 1, če je |''D''| dovolj velika.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Mordell; 1934). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Heilbronn; 1934). Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna za ''L''-funkcijo kakšnega imaginarnega kvadratnega Dirichletovega karakterja, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.</blockquote>
({{efn|V delu Heckeja in Heilbronna so edine ''L''-funkcije, ki se pojavljajo, tiste povezane z imaginarnim kvadratnim karakterjem, in le tistim ''L''-funkcijam, za katere je posplošena Riemannova domneva pravilna ali nepravilna, je namenjena; nepravilnost splošne Riemannove domneve za ''L''-funkcije kubičnega Dirichletovega karakterja bi strogo govoreč pomenilo, da je splošna Riemannova domneva nepravilna, vendar takšne vrste nepravilnosti splošne Riemannove domneve Heilbronn ni imel v mislih, tako da je bil njegov privzetek bolj omejen kot le to, da je splošna Riemannova domneva napravilna.)}}</blockquote>
 
(V delu Heckeja in Heilbronna so edine ''L''-funkcije, ki se pojavljajo, tiste povezane z imaginarnim kvadratnim karakterjem, in le tistim ''L''-funkcijam, za katere je posplošena Riemannova domneva pravilna ali nepravilna, je namenjena; nepravilnost splošne Riemannove domneve za ''L''-funkcije kubičnega Dirichletovega karakterja bi strogo govoreč pomenilo, da je splošna Riemannova domneva nepravilna, vendar takšne vrste nepravilnosti splošne Riemannove domneve Heilbronn ni imel v mislih, tako da je bil njegov privzetek bolj omejen kot le to, da je splošna Riemannova domneva napravilna.)
 
[[Carl Siegel|Siegel]] je leta 1935 podal močnejši rezultat brez kakršnekoli rabe Riemannove ali posplošene Riemannove domneve.
Vrstica 385 ⟶ 384:
[[Paulo Ribenboim|Ribenboim]] je pripomnil, da:
<blockquote>»je metoda dokaza zanimiva v smislu, da neenakost velja pod privzetkom pravilnosti Riemannove domneve, in drugič pod nasprotnim privzetkom.«</blockquote>
 
== Posplošitve in analogoni Riemannove domneve ==