Riemannova domneva: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m →Viri |
m lektura #2; preoblikovanje določenih stavkov v opombe |
||
Vrstica 104:
== Ozadje in zgodovina ==
{{quote box|align=right|width=30%|quote=»{{jezik|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}«<br /><br />»…zelo verjetno je, da so vse ničle
[[Slika:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf|thumb|right|250px|Prva stran [[Bernhard Riemann|Riemannovega]] članka ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') iz leta 1859]]
Vrstica 127:
: <math> \operatorname{Li} (x) = \int_0^{x} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \!\, . </math>
Ta formula
== Posledice Riemannove domneve ==
Vrstica 167:
: <math> M(x) = \mathcal{O} (x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}) \!\, </math>
za vsak pozitiven ε, enakovredna Riemannovi domnevi
: <math> |M(x)| \le \sqrt x \!\, . </math>
Vrstica 223:
: <math> g_{n} = \mathcal{O} (\sqrt{p} \log p) \!\, . </math>
To je primer, v katerem je tudi najboljša meja, ki se jo lahko dokaže s pravilnostjo Riemannove domneve, veliko šibkejša od tistega, kar se zdi resnično: [[Cramérjeva domneva]] pravi, da je vsaka vrzel med zaporednima prašteviloma enaka:
: <math> g_{n} = \mathcal{O} ((\log p_n)^2) \!\, , </math>
Vrstica 330:
* Weinberger<ref>{{sktxt|Weinberger|1973}}.</ref> je leta 1973 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve za funkcije ζ vseh obsegov argebrskih števil izhaja, da je vsak obseg z razrednim številom 1 ali [[evklidska domena|evklidski]] ali imaginarni kvadratni številski obseg diskriminant −19, −43, −67 ali −163.
* [[Gary Lee Miller|Miller]] je leta 1976 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da se lahko iz [[test praštevilskosti|testa praštevilskosti]] v polinomskem času preskusi ali je število praštevilo s pomočjo [[Miller-Rabinov test praštevilskosti|Miller-Rabinovega testa]]. [[Manindra Agraval|Agraval]], [[Niradž Kajal|Kajal]] in [[Nitin Saksena|Saksena]] so leta 2002 dokazali ta rezultat brezpogojno s pomočjo [[test praštevilskosti AKS|testa praštevilskosti AKS]].
* Odlyzko<ref>{{sktxt|Odlyzko|1990}}.</ref> je leta 1990 obravnaval, kako se lahko posplošeno Riemannovo domnevo uporabi za ostrejše ocene diskriminant in [[razredno število|razrednega števila]] številskih obsegov.
* [[Ken Ono|Ono]] in [[Kannan Soundararajan|Soundararajan]]<ref>{{sktxt|Ono|Soundararajan|1997}}.</ref> sta leta 1997 pokazala, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da obstaja točno 18 lihih celih števil, ki niso oblike [[Ramanudžanova tričlena kvadratna forma|Ramanudžanove integralske kvadratne forme]] ''x''<sup>2</sup> +''y''<sup>2</sup> + 10''z''<sup>2</sup>: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.
Vrstica 337:
Nekatere posledice Riemannove domneve so tudi posledice njene negacije, in so zato izreki. V svoji razpravi o izrekih Hecheja, Deuringa, Mordella in Heilbronna Ireland in [[Michael Ira Rosen|Rosen]] pravita:<ref>{{sktxt|Ireland|Rosen|1990|p=359}}.</ref>
<blockquote>»Tukaj je metoda dokaza resnično neverjetna. Če je posplošena Riemannova domneva pravilna, potem je izrek pravilen. Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna, potem je izrek pravilen. Zato je izrek pravilen!!« (klicaja sta v izvirniku)</blockquote>
Treba je biti previden pri razumevanju kaj je mišljeno, da je posplošena Riemannova domneva nepravilna: treba je točno navesti kateri razred Dirichletovih vrst ima [[protiprimer]].
Vrstica 343:
==== Littlewoodov izrek ====
Izrek obravnava predznak napake v praštevilskem izreku. Izračunali so, da je funkcija števila praštevil π(''x'') < Li(''x'') za vse ''x'' ≤ 10<sup>23</sup>. Ni znana nobena vrednost ''x'', za katero bi veljalo π(''x'') > Li(''x'').
Littlewood je leta 1914 dokazal, da obstajajo poljubno velike vrednosti ''x'' za katere velja:
Vrstica 369:
<blockquote>Izrek (Deuring; 1933). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem je ''h''(''D'') > 1, če je |''D''| dovolj velika.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Mordell; 1934). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Heilbronn; 1934). Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna za ''L''-funkcijo kakšnega imaginarnega kvadratnega Dirichletovega karakterja, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.
▲(V delu Heckeja in Heilbronna so edine ''L''-funkcije, ki se pojavljajo, tiste povezane z imaginarnim kvadratnim karakterjem, in le tistim ''L''-funkcijam, za katere je posplošena Riemannova domneva pravilna ali nepravilna, je namenjena; nepravilnost splošne Riemannove domneve za ''L''-funkcije kubičnega Dirichletovega karakterja bi strogo govoreč pomenilo, da je splošna Riemannova domneva nepravilna, vendar takšne vrste nepravilnosti splošne Riemannove domneve Heilbronn ni imel v mislih, tako da je bil njegov privzetek bolj omejen kot le to, da je splošna Riemannova domneva napravilna.)
[[Carl Siegel|Siegel]] je leta 1935 podal močnejši rezultat brez kakršnekoli rabe Riemannove ali posplošene Riemannove domneve.
Vrstica 385 ⟶ 384:
[[Paulo Ribenboim|Ribenboim]] je pripomnil, da:
<blockquote>»je metoda dokaza zanimiva v smislu, da neenakost velja pod privzetkom pravilnosti Riemannove domneve, in drugič pod nasprotnim privzetkom.«</blockquote>
== Posplošitve in analogoni Riemannove domneve ==
|