Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 906 zlogov ,  pred 5 leti
m
m+/dp/+siz
m (preoblikovanje v opombo + tn.)
m (m+/dp/+siz)
[[Slika:RiemannCriticalLine.svg|thumb|right|200px250px|Realni (rdeče) in imaginarni del (modro) [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] vzdolž kritične premice <math>\Re (''s'') = 1/2\, </math>. Prve netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] so v [[točka (geometrija)|točka]]h <math>\Im (''s'') = ±\pm 14,135, ±\pm 21,022\, </math> in ±<math>\pm 25,011\, </math>.]]
 
'''Riemannova domneva''' je v [[matematika|matematiki]] [[domneva]], da imajo vse netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] [[realni del]] enak [[polovica|1/2.]] Predlagal jo je [[Bernhard Riemann]] leta [[1859 v znanosti|1859]].<ref name="riemann_1859">{{sktxt|Riemann|1859}}.</ref> Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer [[lokalna funkcija zeta|Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih]].
Riemannova domneva obsega rezultate o porazdelitvi [[praštevilo|praštevil]]. Skupaj z ustreznimi posplošitvami jo imajo nekateri matematiki za najpomembnejši [[nerešeni matematični problemi|nerešeni problem]] v [[čista matematika|čisti matematiki]].<ref name="bombieri_2000">{{sktxt|Bombieri|2000}}.</ref> Riemannova domneva je skupaj z [[Goldbachova domneva|Goldbachovo domnevo]] del [[Hilbertov osmi problem|Hilbertovega osmega problema]] na [[David Hilbert|Hilbertovem]] seznamu [[Hilbertovi problemi|23-ih nerešenih problemov]] iz leta 1900. Kot edini problem s Hilbertovega seznama je uvrščena tudi med [[problemi tisočletne nagrade]] [[Clayjev matematični inštitut|Clayjevega matematičnega inštituta]].
 
Riemannova funkcija ζ(''s'') je [[funkcija]], katere [[argument funkcije|argument]] ''s'' je lahko poljubno [[kompleksno število]] različno od [[1 (število)|1]] in katere vrednosti so tudi kompleksne. Njene ničle se pojavljajo pri [[negativno število|negativnih]] [[sodo število|sodih]] [[celo število|celih številih]] – ζ<math>\zeta (''s'')&nbsp; =&nbsp; 0\, </math>, kadar je ''<math>s'' enak= −2-2n = -2, −4-4, −6-6, \ldots\, ...</math> Te ničle se imenujejo '''trivialne ničle'''. [[Odvod]] Riemannove funkcije ζ v trivialnih ničlah je dan analitično:<ref>{{sktxt|Broughan|Barnett|2002}}.</ref><ref name="wolf_2009">{{sktxt|Wolf|2009}}.</ref>
 
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n} \zeta(-2n) = (-1)^{n} \frac{n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n}} \zeta (2n+1) \!\, , </math>
 
tako da se predznak odvoda izmenično spreminja. Vendar te ničle niso edine vrednosti za katere je vrednost funkcije ζ enaka [[0|nič]]. TeDruge ničle se imenujejo ''netrivialne ničle''. Riemannova domneva zadeva lege teh netrivialnih ničel in pravi:
 
: da je realni del vseh netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ enak&nbsp;{{sfrac|2}} (<math>\sigma \equiv \Re(s) = \frac{1}{2}\, </math>), oziroma enakovredno, <math>\zeta (s) \ne 0\, </math> za <math>\sigma > \frac{1}{2}\, </math>.<ref>{{sktxt|Christ|2013}}.</ref>
 
: <math> \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!\, , </math>
kjer je Γ [[funkcija gama|funkcija Γ]]. Lahko se definira ζ(''s'') za vsa preostala kompleksna števila ''s'', če se privzame, da ta enačba velja tudi zunaj traku in, da je funkcija ζ(''s'') enaka desni strani enačbe, kadar ''s'' nima pozitivnega realnega dela. Če je ''s'' negativno celo število, potem je ζ(''s'') = 0, ker se faktor sin(π''s''/2) poniči – to so trivialne ničle funkcije ζ.{{efn|Če je ''s'' pozitivno celo število, ta argument ne velja, ker se ničle funkcije [[Trigonometričnatrigonometrična funkcija|sinus]] poničijo s poli funkcije Γ, ker zavzame negativne celoštevilske argumente.}} Vrednost [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]] ni določena s funkcijsko enačbo, ampak je limitna vrednost funkcije ζ(''s''), ko se ''s'' približuje ničli. Iz funkcijske enačbe tudi sledi, da funkcija ζ nima ničel z negativnim realnim delom razen trivialnih ničel, in tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, kjer ima ''s'' realni del med 0 in 1.
 
== Ozadje in zgodovina ==
 
{{quote box|align=right|width=30%|quote=»{{jezik|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}«<br /><br />»…zelo verjetno je, da so vse ničle reaalne. Seveda je želja imeti tukaj dokaz; sam sem do sedaj po nekaj bežnih neuspešnih poskusih začasno dal na stran iskanje zanj, ker je verjetno nebistven za naslednji cilj moje raziskave.«|source=Riemannova izjava Riemannove domneve iz članka.<ref name="riemann_1859" /> (Obravnaval je različico funkcije ζ, modificirano tako, da so njene ničle realne in ne ležijo na kritični premici.)}}
[[Slika:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf|thumb|right|200px250px|Prva stran [[Bernhard Riemann|Riemannovega]] članka ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') iz leta 1859]]
 
V svojem članku iz leta 1859 ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') je Riemann našel [[eksplicitne formule (L-funkcija)|eksplicitne formule]] za [[število praštevil]] π(''x'') manjše od danega števila ''x''. Njegova formula je dana s pomočjo povezane funkcije:
 
=== Domneva velikih praštevilskih vrzeli ===
[[Slika:Wikipedia primegaps.png|thumb|right|200px250px|[[praštevilska vrzel|Vrzeli]] med zaporednimi [[praštevilo|praštevili]] do <math>10^{20}\,</math>]]
 
Po praštevilskem izreku je povprečno [[praštevilska vrzel|vrzel]] med praštevilom <math>p_{n}\, </math> in naslednjim praštevilom <math>p_{n+1}\, </math> enaka:
 
=== Območja brez ničel ===
[[Slika:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|right|thumb|250px|Razen trivialnih ničel Riemannova funkcija ζ nima ničel desno od <math>\sigma = 1\, </math> in levo od <math>\sigma = 0\, </math>. Ničle tudi ne morejo ležati preblizu teh dveh premic. Poleg tega so netrivialne ničle simetrične glede na realno os in kritično premico <math>\sigma = 1/2\, </math>. Po Riemannovi domnevi vse ležijo na njej.]]
 
De la Vallée-Poussin<ref>{{sktxt|de la Vallée-Poussin|1899–1900}}.</ref> je med letoma 1899 in 1900 dokazal, da, če je <math>\sigma + i \, t\, </math> ničla Riemannove funkcije ζ, potem velja {{nowrap|1 − σ ≥ <big>{{sfrac|''C''|log(''t'')}}</big>}} za kakšno pozitivno konstanto ''C''. Z drugimi besedami ničle ne morejo biti preblizu premici {{nowrap|σ {{=}} 1:}} tam obstaja območje brez ničel blizu te premice. To območje brez ničel je več avtorjev povečalo z metodami, kot je na primer [[izrek Vinogradova o srednji vrednosti]]. Ford<ref>{{sktxt|Ford|2002}}.</ref> je leta 2002 podal različico z eksplicitnimi številskimi konstantami: <math>\zeta (\sigma + i \, t) \ne 0\, </math>, kadar je {{nowrap begin}}|''t''&thinsp;| ≥ 3{{nowrap end}} in:
 
=== Numerični izračuni ===
[[Slika:Riemann zeta function absolute value.png|thumb|right|250px|Absolutna vrednost Riemannove funkcije ζ]]
 
Funkcija:
|1953
|1104
|[[Alan Turing|A. M. Turing]]<ref name="turing_1953">{{sktxt|Turing|1953}}.</ref> je našel učinkovitejši način preverjanja, da so vse ničle do neke točke upoštevane z ničlami na premici, tako da se preveri ali ima funkcija ''Z'' pravilni predznak v več zaporednih Gramovih točkah in z uporabo dejstva, da je srednja vrednost ''S''(''T'') enaka 0. To ne zahteva skoraj nobenega dodatnega dela, ker je predznak funkcije ''Z'' v Gramovih točkah že znan iz iskanja ničel. Ta metoda se običajno še vedno uporablja. To je bila prva raba digitalnega računalnika za izračun ničel.
|-
|1956
|1966
|250 000
|[[Russell Sherman Lehman|R. S. Lehman]]
|-
|1968
|38,999
|}
[[Slika:Zeta polar.svg|thumb|right|200px250px|Prikaz vrednosti <math>\zeta (1/2+it)\, </math> v kompleksni ravnini za <math>0 \le ''t'' \le 34\, </math>. (Za ''<math>t''&nbsp; =0\, ζ</math> vrednost <math>\zeta (1/2) \approx -1,460\, </math> odgovarja najbolj levi točki na rdeči krivulji.) Gramov zakon pravi, da krivulja po navadi prečka realno os enkrat med ničlami.]]
 
Prvo neskladje Gramovega zakona se pojavi pri 127-i ničli in Gramovi točki ''g''<sub>126</sub>, ki sta v »nepravilnem« vrstnem redu.
== Argumenti za in proti Riemannovi domnevi ==
 
Matematični članki o Riemannovi domnevi so o njeni pravilnosti previdno zadržani. Od avtorjev, ki izrazijo mnenje, jih večina, kot na primer Riemann<ref name="riemann_1859" /> ali Bombieri<ref name="bombieri_2000" /> nakaže, da pričakujejo (ali vsaj upajo), da je pravilna. Med avtorji, ki izražajo resnični dvom o njej, sta Ivić,<ref name="ivic_2008">{{sktxt|Ivić|2008}}.</ref> ki navaja nekatere razloge za dvom, in Littlewood,<ref>{{sktxt|Littlewood|1962}}.</ref> ki naravnost navaja svoje prepričanje, da je nepravilna in, da zanjo ne obstaja noben dokaz in predstavljiv vzrok za pravilnost. Med avtorji, ki so dvomili o pravilnosti Riemannove domneve, je bil tudi Turing.<ref name="turing_1953" /><ref name="wolf_2009" /> V svojem članku je zapisal: »Naredili so se izračuni v optimističnem upanju, da bi se našla ničla zunaj kritične premice.« Turing je našel, da vse ničle do <math>t = 1540\, </math> ležijo na kritični premici. Pregledni članki so si enotni, da je pokazateljev zanjo precej, vendar ne ogromno, tako da, medtem ko je verjetno pravilna, obstaja več upravičenih dvomov.<ref name="bombieri_2000" /><ref name="conrey_2003">{{sktxt|Conrey|2003}}.</ref><ref name="sarnak_2008">{{sktxt|Sarnak|2008}}.</ref>
 
Nekatere argumente za (ali proti) Riemannovi domnevi so navedli [[Peter Sarnak|Sarnak]],<ref name="sarnak_2008" /> Conrey<ref name="conrey_2003" /> in Ivić.<ref name="ivic_2008" /> Med njimi so naslednji razlogi:
* dokazali so že več analogonov Riemannove domneve. Deligneov dokaz Riemannove domneve za varietete čez končne obsege<ref name="deligne_1974" /> je verjetno najmočnejši posamezen teoretični razlog v prid Riemannovi domnevi. To zagotavlja nekaj pokazateljev za splošnejšo domnevo, da za vse funkcije ζ povezane z avtomorfnimi formami velja Riemannova domneva, ki vsebuje klasično Riemannovo domnevo kot posebni primer. Podobno za Selbergove funkcije ζ velja analogon Riemannove domneve in so na nek način podobne Riemannovi funkciji ζ s funkcijsko enačbo in razvoj v neskončni produkt podoben razvoju v Eulerjev produkt. Obstaja pa nekaj večjih razlik: niso na primer podane s kakšno Dirichletovo vrsto. RIemannovo domnevo za Gossovo funkcijo ζ je dokazal Sheats.<ref name="sheats_1998" /> Z razliko od teh pozitivnih primerov za nekatere [[Epsteinova funkcija zeta|Epsteinove funkcije ζ]] Riemannova domneva ne velja, četudi imajo neskončno število ničel na kritični premici.<ref name="titchmarsh_1986" /> Te funkcije so zelo podobne Riemannovi funkciji ζ, lahko se jih razvije s kakšno Dirichletovo vrsto in imajo funkcijsko enačbo, vendar tiste, za katere ne velja Riemannova domneva, nimajo Eulerjevega produkta in niso neposredno povezane z [[avtomorfna reprezentacija|avtomorfnimi reprezentacijami]].
* kot prvo se numerično preverjanje, da mnogo ničel leži na premici, zdi močan pokazatelj. Vendar je bilo v analitični teoriji števil veliko domnev, ki so jih podpirale velike količine numeričnih izračunov, pa so bile nepravilne. Glej [[Skewesovo število]] za značilni zgled, kje se prva izjema verjetni domnevi povezani z Riemannovo domnevo morda lahko pojavi pri približno številu 10<sup>316</sup>; protiprimer Riemannovi domnevi z imaginarnim delom takšne velikosti bi bil precej daleč proč od tega kar se trunutno lahko izračuna z neposrednim pristopom. Problem je, ker na obnašanje velikokrat vplivajo zelo počasi naraščajoče funkcije, kot je npr. log log ''T'', in težijo k neskončnosti, vendar zelo počasi, kar je nemogoče zaznati z računanjem. Takšne funkcije se pojavljajo v teoriji funkcij ζ in od njih je odvisno obnašanje njihovih ničel. Zgornja funkcija ''S''(''T'') ima na primer povprečno velikost (log log ''T'')<sup>1/2</sup>. Kot vrednost funkcije ''S''(''T'') naraste vsaj za 2 v kakšnem protiprimeru Riemannove domneve, bi bilo pričakovati, da se bodo protiprimeri Riemannove domneve začeli pojavljati le kadar vrednost funkcije ''S''(''T'') postane velika. Njena vrednost ni skoraj nikoli dosti večja od 3, kakor kažejo dosedanji izračuni, vendar je znano, da je neomejena, kar nakazuje, da izračuni še niso dosegli območja značilnega obnašanja funkcije ζ.
* [[Arnaud Denjoy|Denjoy]]ev verjetnostni argument za Riemannovo domnevo<ref name="edwards_1974" /> temelji na opažanju, da, če je μ(''x'') naključno zaporedje števil »1« in »−1«, potem so za vsak {{nowrap|ε > 0}} [[delna vsota|delne vsote]]:
* {{citat|last1= Trudgian|first1= Timothy|title= On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule|year= 2011|journal= Acta Arithmetica|volume= 125|issue= 3|pages= 225–256|doi= 10.4064/aa148-3-2|ref= harv}}
* {{citat|last1= Turán|first1= Paul|authorlink1= Pál Turán|title= On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann|mr= 0027305|year= 1948|journal= Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.|volume= 24|issue= 17|pages= 36|ref= harv}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Turing|first1= Alan M.Mathison|authorlink1= Alan Turing|title= Some calculations of the Riemann zeta-function|doi= 10.1112/plms/s3-3.1.99|mr= 0055785|year= 1953|journal= [[Proceedings of the London Mathematical Society|Proc. London Math. Soc.]]. Third Series|volume= 3|issue= 1|pages= 99–117|ref= harv}}
* {{citat|last1= de la Vallée-Poussin|first1= Charles-Jean|authorlink1= Charles-Jean de la Vallée-Poussin|title= Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers|journal= Ann. Soc. Sci. Bruxelles|volume= 20|year= 1896|pages= 183–256|ref= harv}}
* {{citat|last1= de la Vallée-Poussin|first1= Charles-Jean|authorlink1= |title= Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée|journal= Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg.|volume= 59|issue= 1|year= 1899–1900|ref= harv}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.