Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

m
lektura #1
m (m/dp/pnp)
m (lektura #1)
'''Riemannova domneva''' je v [[matematika|matematiki]] [[domneva]], da imajo vse netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] [[realni del]] enak [[polovica|1/2.]] Predlagal jo je [[Bernhard Riemann]] leta [[1859 v znanosti|1859]].<ref name="riemann_1859">{{sktxt|Riemann|1859}}.</ref> Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer [[lokalna funkcija zeta|Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih]].
 
Riemannova domneva obsega rezultate o porazdelitvi [[praštevilo|praštevil]]. Skupaj z ustreznimi posplošitvami jo imajo nekateri matematiki za najpomembnejši [[nerešeni matematični problemi|nerešeni problem]] v [[čista matematika|čisti matematiki]].<ref name="bombieri_2000">{{sktxt|Bombieri|2000}}.</ref> Riemannova domneva je skupaj z [[Goldbachova domneva|Goldbachovo domnevo]] del [[Hilbertov osmi problem|Hilbertovega osmega problema]] na [[David Hilbert|Hilbertovem]] seznamu [[Hilbertovi problemi|23-ih nerešenih problemov]] iz leta 1900. JeKot edini problem s Hilbertovega seznama je uvrščena tudi med [[problemi tisočletne nagrade]] [[Clayjev matematični inštitut|Clayjevega matematičnega inštituta]] in med njimi edini s Hilbertovega seznama.
 
Riemannova funkcija ζ(''s'') je [[funkcija]], katere [[argument funkcije|argument]] ''s'' je lahko poljubno [[kompleksno število]] različno od [[1 (število)|1]] in katere vrednosti so tudi kompleksne. Njene ničle se pojavljajo pri [[negativno število|negativnih]] [[sodo število|sodih]] [[celo število|celih številih]] – ζ(''s'')&nbsp;=&nbsp;0, kadar je ''s'' enak −2, −4, −6,&nbsp;. ... Te ničle se imenujejo '''trivialne ničle'''. [[Odvod]] Riemannove funkcije ζ v trivialnih ničlah je dan analitično:<ref>{{sktxt|Broughan|Barnett|2002}}.</ref><ref name="wolf_2009">{{sktxt|Wolf|2009}}.</ref>
 
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n} \zeta(-2n) = (-1)^{n} \frac{n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n}} \zeta (2n+1) \!\, , </math>
tako da se predznak odvoda izmenično spreminja. Vendar te ničle niso edine vrednosti za katere je vrednost funkcije ζ enaka [[0|nič]]. Te ničle se imenujejo ''netrivialne ničle''. Riemannova domneva zadeva lege teh netrivialnih ničel in pravi:
 
: da je realni del vseh netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ je enak&nbsp;{{sfrac|2}} (<math>\sigma \equiv \Re(s) = \frac{1}{2}\, </math>), oziroma enakovredno, <math>\zeta (s) \ne 0\, </math> za <math>\sigma > \frac{1}{2}\, </math>.<ref>{{sktxt|Christ|2013}}.</ref>
 
V novejšem času se k zgornji definiciji doda pogoj, da so netrivialne ničle enostavne, kar pomeni, da je v njih odvod različen od nič:<ref name="wolf_2009" />
: <math> \left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots \!\, . </math>
 
Vendar vrsta na desni konvergira ne samo, kadar je ''s'' večji od 1, ampak splošneje kadar ima ''s'' pozitivni realni del. Ta alternativna vrsta razširjujerazširja funkcijo ζ iz območja {{nowrap|Re(''s'') > 1}} v večjo območje {{nowrap|Re(''s'') > 0}} in izključuje ničle <math>s = 1 + 2\pi in/\ln(2)</math> funkcij <math>1-2/2^s</math>. Tudi funkcija ζ se lahko razširi na te vrednosti z limitami, ki dajo končno vrednost za vse vrednosti ''s'' s pozitivnim realnim delom , razen za [[enostavni pol]] v ''s''&nbsp;=&nbsp;1.
 
V traku {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}} za funkcijo ζ velja [[funkcijska enačba]]:
 
: <math> \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!\, , </math>
kjer je Γ [[funkcija gama|funkcija Γ]]. Lahko se definira ζ(''s'') za vsa preostala kompleksna števila ''s'', če se privzame, da ta enačba velja tudi zunaj traku in, da je funkcija ζ(''s'') enaka desni strani enačbe, kadar ''s'' nima pozitivnega realnega dela. Če je ''s'' negativno celo število, potem je ζ(''s'') = 0, ker se faktor sin(π''s''/2) poniči – to so trivialne ničle funkcije ζ. (Če je ''s'' poztivno celo število, ta argument ne velja, ker se ničle funkcije [[Trigonometrična funkcija|sinus]] poničijo s poli funkcije Γ, ker zavzame negativne celoštevilske argumente.) Vrednost [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]] ni določena s funkcijsko enačbo, ampak je limitna vrednost funkcije ζ(''s''), ko se ''s'' približuje ničli. Iz funkcijske enačbe tudi sledi, da funkcija ζ nima ničel z negativnim realnim delom razen trivialnih ničel, in tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, kjer ima ''s'' realni del med 0 in 1.
 
== Ozadje in zgodovina ==
Za člene funkcije Li(''x''<sup>ρ</sup>), ki vsebujejo ničle funkcije ζ, je treba previdno definirati, ker ima funkcija Li [[točka vejitve|točki vejitve]] v 0 in 1, in so definirani (za ''x''&nbsp;>&nbsp;1) z analitičnim nadaljevanjem kompleksne spremenljivke ρ v območju Re(ρ)&nbsp;>&nbsp;0, kar pomeni, da jih je treba obravnavati kot [[eksponentni integral|Ei]](ρ ln ''x''). Tudi drugi členi odgovarjajo ničlam: prevladujoči člen funkcije Li(''x'') izhaja iz pola v ''s''&nbsp;=&nbsp;1, če se ga obravnava kot ničla multiplikativnosti −1, preostali manjši členi pa izhajajo iz trivialnih ničel. Za nekatere grafe vsot prvih členov te vrste glej Riesel; Göhl<ref>{{sktxt|Riesel|Göhl|1970}}.</ref> ali Zagier.<ref>{{sktxt|Zagier|1977}}.</ref>
 
Ta formula prvi, da ničle Riemannove funkcije ζ nadzorujejo nihanja praštevil okrog njihovih »pričakovanih« leg. Riemann je vedel, da so netriviaalnenetrivialne ničle funkcije ζ simetrično porzdeljeneporazdeljene okrog premice {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2 + ''it'',}} in je vedel, da morajo vse njene netrivialne ničle ležati v območju {{nowrap|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1.}} Preveril je, da nekatere ničle ležijo na kritični premici z realnim delom enakim 1/2 in predlagal, da vse ležijo tam, kar je tudi domneva sama.
 
== Posledice Riemannove domneve ==