Fakulteta (funkcija): razlika med redakcijama

m
m+/dp/slog
m (m/dp/tn)
m (m+/dp/slog)
: ''To je članek o fakulteti kot matematični funkciji. Za šolsko ustanovo glej [[fakulteta]].''
'''Fakultéta''' (tudi '''faktoriéla''') [[naravno število|naravnega števila]] ''n'' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], ki določa [[produkt]] [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] manjših ali enakih ''n''. Funkcijo zapišemose zapiše kot''' ''n[[!]]''''' in preberemoprebere »''n'' fakulteta«. Zapis ''n!'' je vpeljal francoski matematik [[Christian Kramp]] leta [[1808 v znanosti|1808]].
 
== Definicija ==
Običajno je fakulteta določena kot:
 
: <math> n!=\prod_{k=1}^{n} k, \qquad \mbox{za vse }( n \ge 1 ) \! \;, . </math>
 
Na primer,:
 
: <math> 5! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \;!\, . </math>
 
Po dogovoru velja:
Velja:
 
: <math> 0! = 1 \;!\, , </math>
 
ker je [[prazni produkt|produkt nobenih števil]] enak 1. Ta značilnost fakultete je uporabna, saj:
 
* [[rekurzija|rekurzivna]] zveza (''n'' + 1)! = ''n!'' · (''n'' + 1) velja za ''n'' = 0;
Fakulteta je lahko določena (tudi za necela števila) prek [[funkcija gama|funkcije Γ]]:
 
: <math> z!=\Gamma (z+1)=\int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t}\, dt\mathrm{d} t \! \;, . </math>
 
Ta enačba kaže na posplošitev zamisli fakultete za [[množica|množico]] [[kompleksno število|kompleksnih števil]], z izjemo [[negativno število|negativnih]] celih števil.
 
Tako imamoso za posebni primer fakultet necelih vrednosti:
 
: <math> n!=\sqrt{\pi}\cdot \prod_{k=0,51/2}^{n} k \;!\, . </math>
 
Na primer:
 
: <math>3,5 (1/2)! = \Gamma (3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot= 30,5886226925452 \cdot 2,5ldots \cdot 1!\,5 \cdot 0,5 \; .</math> {{OEIS|id=A019704}},
: <math> (7/2)! = \Gamma (9/2) = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{105 \sqrt{\pi}}{16} = 11,631728396567 \ldots \!\, . </math>
 
=== Dvojna fakulteta ''n''!! ===
 
Dvojna fakulteta pomeni produkt vseh sodih oziroma vseh lihih naravnih števil do vključno ''n''. Pozor: ''n''!! ni enako (''n''!)!
 
:<math>
n!! = \begin{cases}
1,\qquad\quad\; &&{\rm \check{c}e~~} n=0 \mbox{ ali }n=1; \\
\left\{
n(n-2)!!; & n \ge 2 \!\, . \end{cases} </math>
\begin{matrix}
1,\qquad\quad\ &&{\rm \check{c}e~~}n=0\mbox{ ali }n=1;
\\
n(n-2)!!&&{\rm \check{c}e~~}n\ge2.\qquad\qquad
\end{matrix}
\right.
</math>
 
* 2!! = 2
* 3!! = 1 · 3 = 3
* 4!! = 2 · 4 = 8
* 5!! = 1 · 3 · 5 = 15
* 6!! = 2 · 4 · 6 = 48
* 7!! = 1 · 3 · 5 · 7 = 105
* 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
* 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
* 10!! = 2 · 4 · 6 · 8 · 10 = 3840
* 100!! = ... = 34243224702511976248246432895208185975118675053719198827915654463488000000000000
 
== Značilnosti ==
== Uporabe ==
 
* Fakultete so pomembne v [[kombinatorika|kombinatoriki]]. Število ''n!'' določa na koliko načinov se lahko razvrstimorazvrsti ''n'' različnih predmetov v zaporedje. (TakšnimTakšne postavitvampostavitve pravimose imenujejo [[permutacija|permutacije]].) Število možnih izbir ''k'' predmetov izmed dane množice ''n'' predmetov (število [[kombinacija|kombinacij]]) je dano z [[binomski koeficient|binomskim koeficientom]]om:
 
: <math> {n\choose k}=\frac{n!\over }{k!(n-k)!} \;!\, . </math>
 
* Fakultete se pojavljajo tudi v [[infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]]. S pomočjo [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]] se lahko na primer izrazimoizrazi funkcijo ''f''(''x'') s [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]] v ''x'', ker je ''n''-ti [[odvod]] od ''x''<sup>''n''</sup> enak ''n!''.
 
* [[prostornina|Prostornino]] ''n''-[[razsežnost|razsežne]] [[hipersfera|hipersfere]] se lahko izrazimoizrazi kot:
 
: <math>V_n V_{n}= \frac{\pi^{n/2}R^{n\over }}{(n/2)!} \;!\, . </math>
 
: Za [[liho število|lihe]] razsežnosti potrebujemose potrebuje funkcijo gamaΓ in njena vrednost izniči navidezno decimalno potenco <math>\pi</math> za te primere.
 
* Fakultete se veliko uporabljajo tudi v [[verjetnostni račun|verjetnostnem računu]].
 
* Fakultete velikokrat omenjajo kot preprosti primer [[rekurzija|rekurzije]] v [[računalništvo|računalništvu]], saj velja naslenjanaslednja rekurzivna zveza (za ''n'' ≥ 1):
 
: <math> n! = n \cdot (n-1)!, \;qquad ( n \ge 1 ) \!\, . </math>
 
== Izračun fakultet ==
 
Numerično vrednost ''n!'' se lahko izračunamoizračuna s ponavljanjem [[množenje|množenja]] za dovolj majhne ''n''. Tako v osnovi računajo tudi žepna [[računalo|računala]]. Največja fakulteta, ki jo lahko izračuna večina računal, je 69!, saj je 70!&nbsp;>&nbsp;10<sup>100</sup>.
 
Če je ''n'' velik, se lahko dovolj natančnotočno ocenimooceni vrednost ''n!'' s pomočjo [[Stirlingova aproksimacija|Stirlingove aproksimacije]]:
 
: <math> n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \;!\, . </math>
 
Obstaja tudi preprostejša enačba, ki se jo lahko dokažemodokaže z [[matematična indukcija|matematično indukcijo]]:
 
: <math> \left({n \over frac{n}{3} \right) ^{n} < n! < \left({n \over frac{n}{2} \right) ^{n\}, \mbox{za}\qquad ( n\geqge 6 ) \;!\, . </math>
 
== Logaritem fakultete ==
Potenca ''p'', ki se pojavi v [[praštevilski razcep|praštevilskem razcepu]] ''n!'', je:
 
: <math> \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^{i} \rfloor \;!\, . </math>
 
Tu je <math>\lfloor x \rfloor</math> funkcija [[celi del|celega dela]].
 
== Izpisi fakultet ==
 
== Zunanje povezave ==
{{wikisourcepar|Factorial numbers|Fakultetefakultete}}
* [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm ''Domača stran algoritmov za fakultete'' - prikazuje več zanimivih algoritmov za izračun fakultete] {{ikona en}}
* http://factorielle.free.fr {{ikona en}} {{ikona fr}} {{ikona cs}}