Fakulteta (funkcija): Razlika med redakcijama

'''Fakultéta''' (tudi '''faktoriéla''') [[naravno število|naravnega števila]] ''n'' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], ki določa [[produkt]] [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] manjših ali enakih ''n''. Funkcijo zapišemose zapiše kot''' ''n[[!]]''''' in preberemoprebere »''n'' fakulteta«. Zapis ''n!'' je vpeljal francoski matematik [[Christian Kramp]] leta [[1808 v znanosti|1808]].

: <math> n!=\prod_{k=1}^{n} k, \qquad \mbox{za vse }( n \ge 1 ) \! \;, . </math>

Na primer,:

: <math> 5! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \;!\, . </math>

: <math> 0! = 1 \;!\, , </math>

ker je [[prazni produkt|produkt nobenih števil]] enak 1. Ta značilnost fakultete je uporabna, saj:

: <math> z!=\Gamma (z+1)=\int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t}\, dt\mathrm{d} t \! \;, . </math>

Tako imamoso za posebni primer fakultet necelih vrednosti:

: <math> n!=\sqrt{\pi}\cdot \prod_{k=0,51/2}^{n} k \;!\, . </math>

: <math>3,5 (1/2)! = \Gamma (3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot= 30,5886226925452 \cdot 2,5ldots \cdot 1!\,5 \cdot 0,5 \; .</math> {{OEIS|id=A019704}},

n!! = \begin{cases}

* Fakultete so pomembne v [[kombinatorika|kombinatoriki]]. Število ''n!'' določa na koliko načinov se lahko razvrstimorazvrsti ''n'' različnih predmetov v zaporedje. (TakšnimTakšne postavitvampostavitve pravimose imenujejo [[permutacija|permutacije]].) Število možnih izbir ''k'' predmetov izmed dane množice ''n'' predmetov (število [[kombinacija|kombinacij]]) je dano z [[binomski koeficient|binomskim koeficientom]]om:

: <math> {n\choose k}=\frac{n!\over }{k!(n-k)!} \;!\, . </math>

* Fakultete se pojavljajo tudi v [[infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]]. S pomočjo [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]] se lahko na primer izrazimoizrazi funkcijo ''f''(''x'') s [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]] v ''x'', ker je ''n''-ti [[odvod]] od ''x''^''n'' enak ''n!''.

* [[prostornina|Prostornino]] ''n''-[[razsežnost|razsežne]] [[hipersfera|hipersfere]] se lahko izrazimoizrazi kot:

: <math>V_n V_{n}= \frac{\pi^{n/2}R^{n\over }}{(n/2)!} \;!\, . </math>

: Za [[liho število|lihe]] razsežnosti potrebujemose potrebuje funkcijo gamaΓ in njena vrednost izniči navidezno decimalno potenco <math>\pi</math> za te primere.

* Fakultete velikokrat omenjajo kot preprosti primer [[rekurzija|rekurzije]] v [[računalništvo|računalništvu]], saj velja naslenjanaslednja rekurzivna zveza (za ''n'' ≥ 1):

: <math> n! = n \cdot (n-1)!, \;qquad ( n \ge 1 ) \!\, . </math>

Numerično vrednost ''n!'' se lahko izračunamoizračuna s ponavljanjem [[množenje|množenja]] za dovolj majhne ''n''. Tako v osnovi računajo tudi žepna [[računalo|računala]]. Največja fakulteta, ki jo lahko izračuna večina računal, je 69!, saj je 70!&nbsp;>&nbsp;10¹⁰⁰.

Če je ''n'' velik, se lahko dovolj natančnotočno ocenimooceni vrednost ''n!'' s pomočjo [[Stirlingova aproksimacija|Stirlingove aproksimacije]]:

: <math> n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \;!\, . </math>

Obstaja tudi preprostejša enačba, ki se jo lahko dokažemodokaže z [[matematična indukcija|matematično indukcijo]]:

: <math> \left({n \over frac{n}{3} \right) ^{n} < n! < \left({n \over frac{n}{2} \right) ^{n\}, \mbox{za}\qquad ( n\geqge 6 ) \;!\, . </math>

: <math> \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^{i} \rfloor \;!\, . </math>

Tu je <math>\lfloor x \rfloor</math> funkcija [[celi del|celega dela]].

{{wikisourcepar|Factorial numbers|Fakultetefakultete}}