Legendrova funkcija hi: Razlika med redakcijama

dodanih 1.981 zlogov ,  pred 5 leti
m+/dp
(m+/dp)
(m+/dp)
 
: <math> \chi_{\nu} (z) = 2^{-\nu}z\,\Phi (z^{2},\nu,1/2) \!\, . </math>
 
== Značilnosti ==
 
=== Posebne vrednosti Legendrove funkcije <math>\chi_{\nu} (z)\, </math> ===
 
: <math> \chi_{0} (1) = \lambda (0) = 0 \!\, , </math> kjer je <math>\lambda (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija &lambda;]].
: <math> \chi_{2} (i) = i \beta (2) = iG \!\, , </math> kjer je <math>i\, </math> [[imaginarna enota]], <math>\beta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija beta|Dirichletova funkcija &beta;]], <math>G\, </math> pa [[Catalanova konstanta]].
: <math> \chi_{2} (-1) = \chi_{2} (1) \!\, . </math>
 
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{5} - 2 \right) = \frac{\pi^{2}}{24} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,237559901279 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{2} - 1 \right) = \frac{\pi^{2}}{16} - \frac{1}{4} \left( \ln (\sqrt{2} + 1) \right)^{2} = 0,422645425094 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} (1/2) = 0,515327366694 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \right) = \chi_{2} (\Phi - 1) = \frac{\pi^{2}}{12} - \frac{3}{4} \left( \ln \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right) \right)^{2} = 0,648793417991 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\Phi\, </math> [[število zlatega reza]].
: <math> \chi_{2} \left( \sqrt{3} - 3/4 \right) = 1,029963554710 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{2} (1) = \lambda (2) = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \cdots = \frac{\pi^{2}}{8} = 1,233700550136 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A111003}}.
: <math> \chi_{3} (1/2) = 0,504905519133 \ldots \!\, . </math>
: <math> \chi_{3} (1) = \frac{7 \zeta (3)}{8} = 1,051799790264 \ldots \!\, , </math> kjer je <math>\zeta (n)\, </math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija &zeta;]], {{OEIS|id=A233091}}.
: <math> \chi_{4} (1) = \lambda(4) = 1 + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{5^{4}} + \cdots = \frac{\pi^{4}}{96} = 1,014678031604 \ldots \!\, . </math>
 
In v splošnem:
 
: <math> \chi_{n} (1) = \lambda (n) = \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) \zeta (n) =
\left( 1 + \frac{1}{2^{n}-2} \right) \eta (n) \!\, , </math> kjer je <math>\eta (n)\, </math> [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletova funkcija &eta;]].
: <math> \chi_{n} (i) = i \beta (n) \!\, . </math>
 
== Enakosti ==
: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\chi_{2} (x) = \frac{{\operatorname{arc\, tanh} \,} x}{x} \!\, . </math>
 
== IntegralskeIntegralski zvezeizrazi ==
 
: <math> \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{arc\, sin} (r \sin \theta) \mathrm{d} \theta
 
* {{citat|last1= Cvijović|first1= Djurdje|last2= Klinowski|first2= Jacek|url= http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1|title= Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments|journal= [[Mathematics of Computation]]|date= 1999|volume= 68|issue= |pages= 1623-1630|ref= harv}}
* {{navedi spletrevijo|last1= Cvijović|first1= Djurdje|year= 2006|url= http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WK2-4MG1X3C-6&_user=1793225&_coverDate=11%2F30%2F2006&_alid=512412473&_rdoc=2&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=6894&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000053038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1793225&md5=d64e4c1e1d59beb223eefd865b64e422|title= Integral representations of the Legendre chi function|publisherjournal= Elsevier[[J. Math. Anal. Appl.]]|accessdatedate= 2006-122007|volume=332|issue= |pages= 1056-151062|languagearxiv= en0911.4731|doi= 10.1016/j.jmaa.2006.10.083|ref= harv}}
 
== Zunanje povezave ==
[[Kategorija:Specialne funkcije]]
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:1811 v znanosti]]
[[Kategorija:Adrien-Marie Legendre]]