Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 62 zlogov ,  pred 5 leti
m
[[Slika:RiemannCriticalLine.svg|thumb|right|200px|Realni (rdeče) in imaginarni del (modro) [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] vzdolž kritične premice Re(''s'') = 1/2. Prve netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] so v [[točka (geometrija)|točka]]h Im(''s'') = ±14,135, ±21,022 in ±25,011.]]
 
'''Riemannova domneva''' je v [[matematika|matematiki]] [[domneva]], da imajo vse netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] [[realni del]] enak [[polovica|1/2.]] Predlagal jo je [[Bernhard Riemann]] leta [[1859 v znanosti|1859]].<ref name="riemann_1859">{{sktxt|Riemann|1859}}.</ref> Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer [[lokalna funkcija zeta|Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih]].
& = \left(1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^{s}} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots \!\, , \end{align} </math>
 
kjer [[neskončni produkt]] poteka po vseh praštevilih ''p'' in spet konvegira za kompleksni ''s'' z realnim delom večjim od 1. [[Limita funkcije|Konvergenca]] Eulerjevega produkta kaže, da funkcija ζ(''s'') nima ničel v tem območju, saj je vsak faktor brez ničel.
 
Riemannova domneva obravnava ničle zunaj območja konvergence te vrste, zato mora zanjo obstajati [[analitično nadaljevanje]] na vse kompleksne ''s''. To se lahko doseže, da se jo razvije z [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletovo funkcijo η]] kot sledi. Če je realni del ''s'' večji od 1, za funkcijo ζ velja:
 
: <math> \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!\, , </math>
kjer je Γ [[funkcija gama|funkcija Γ]]. Lahko se definira ζ(''s'') za vsa preostala kompleksna števila ''s'', če se privzame, da ta enačba velja tudi zunaj traku in, da je funkcija ζ(''s'') enaka desni strani enačbe kadar ''s'' nima pozitivnega realnega dela. Če je ''s'' negativno celo število, potem je ζ(''s'') = 0, ker se faktor sin(π''s''/2) poniči – to so trivialne ničle funkcije ζ. (Če je ''s'' poztivno celo število, ta argument ne velja, ker se ničle funkcije [[Trigonometrična funkcija|sinus]] poničijo s poli funkcije Γ, ker zavzame negativne celoštevilske argumente.) Vrednost [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]] ni določena s funkcijsko enačbo, ampak je limitna vrednost funkcije ζ(''s''), ko se ''s'' približuje ničli. Iz funkcijske enačbe tudi sledi, da funkcija ζ nima ničel z negativnim realnim delom razen trivialnih ničel, in tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, kjer ima ''s'' realni del med 0 in 1.
 
== Ozadje in zgodovina ==
152.899

urejanj