Wikipedija

Binomski koeficient: Razlika med redakcijama

Pregledujte zgodovino interaktivno
← Starejše urejanjeNovejše urejanje →
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
VizualnoVikibesedilo
SportiBot (pogovor | prispevki)
Boti
274.287 urejanj
ods. Link FA/GA
m m/dp/slog
Vrstica 1:
'''Binómski koeficiènt''' [[naravno število|naravnega števila]] ''n'' in [[celo število|celoštevilčnega]] ''k'' je v [[matematika|matematiki]] [[koeficient]], ki nastopa v [[razčlenjevanje|razčlenjeni]] obliki [[binom]]a (''x''&nbsp;+&nbsp; ''y'')<sup>''n''</sup>. Zapiše se ga z zapisom <math>{n\choose k}</math>, ki se imenuje '''binomski simbol''':
[[koeficient]], ki nastopa v [[razčlenjevanje|razčlenjeni]] obliki [[binom]]a (''x''&nbsp;+&nbsp; ''y'')<sup>''n''</sup>. Zapišemo ga z zapisom <math>{n\choose k}</math>, ki ga imenujemo '''binomski simbol''':
 
: <math> {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} , \quad ( n\geq k\geq 0) \qquad (1) </math>
Vrstica 8 ⟶ 7:
: <math> {n \choose k} = 0 , \quad ( k<0 ) \mbox{ ali } ( k>n ). </math>
 
Tukaj je z ''m''! označena [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]] ''m''. Binomski koeficient ''n'' in ''k'' zapišemose zapiše tudi kot C(''n'',''k'') ali kot <sub>''n''</sub>C<sub>''k''</sub>.
 
Na primer:
Vrstica 18 ⟶ 17:
: <math> (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k y^{n-k} \qquad (2) </math>
 
To posplošimose posploši z [[binomski izrek|binomskim izrekom]], ki dovoljuje, da je [[potenciranje|eksponent]] ''n'' negativen ali neceloštevilski.
 
Pomembna [[rekurzija|rekurenčna enačba]]:
 
: <math>{n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1\choose k+1} \qquad (3) \!\, </math>
 
izhaja neposredno iz definicije. UporabimoUporabi se jo lahko skupaj z [[matematična indukcija|matematično indukcijo]] pri [[matematični dokaz|dokazu]], da je C(''n'', ''k'') naravno število za vse ''n'' in ''k'', kar ni povsem razvidno iz definicije. Enačba nam da znani '''Pascalov aritmetični trikotnik''' binomskih koeficientov:
 
''n''
Vrstica 39 ⟶ 38:
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
 
Vsaka vrstica, ki jo določa ''n'' vsebuje števila C(''n'', ''k'') za ''k'' = 0,...,''n''. Trikotnik nastane, če se v vsaki vrstici od zunaj začnemozačne z [[1 (število)|enicami]] in seštevamose sešteva sosednji števili, [[vsota|vsoto]] pa napišemose napiše pod njima. Na ta način se lahko hitro izračunamoizračuna binomske koeficiente brez uporabe [[ulomek|ulomkov]] ali [[množenje|množenj]]. Na primer, če pogledamose pogleda vrstico z ''n'' = 5, se lahko hitro preberemoprebere:
 
:(''x'' + ''y'')<sup>5</sup> = '''1'''''x''<sup>5</sup> + '''5''' ''x''<sup>4</sup>''y'' + '''10''' ''x''<sup>3</sup>''y''<sup>2</sup> + '''10''' ''x''<sup>2</sup>''y''<sup>3</sup> + '''5''' ''x'' ''y''<sup>4</sup> + '''1'''''y''<sup>5</sup>.
 
Trikotnik je opisal [[Džu Šidžje]] leta [[1303]] v svoji knjigi ''Dragoceno ogledalo štirih elementov''. V svoji knjigi je Ču omenil, da so trikotnik uporabljali že davno, okolipribližno 200 let pred njim, za reševanje binomskih koeficientov. To nam nakazuje, da so metodo poznali kitajski matematiki že 5. stoletij pred [[Blaise Pascal|Pascalom]].
 
Če se v trikotniku obarvamoobarva vsa soda števila in pustimose pusti liha neobarvana, dobimose dobi [[trikotnik Sierpińskega]]. Pascalov trikotnik se lahko zapišemozapiše tudi kot [[kvadratna matrika|kvadratno]] '''Pascalovo matriko''', kjer binomski koeficienti nastopajo po njenih [[diagonala]]h:
 
: <math> A_{10,10} = \begin{bmatrix}
Vrstica 65 ⟶ 64:
: <math> A_{i,j} = A_{i-1,j} + A_{i,j-1} \; </math> drugače.
 
[[Simetrična matrika]] ima precej zanimivih lastnostiznačilnosti in zanimivih razcepitev. Njena [[determinanta]] je 1, saj je njen inverz celoštevilskna matrika. [[lastna vrednost|Lastne vrednosti]] so vse [[realno število|realne]] in pozitivne. Matrika je strogo [[definitnost|pozitivno definitna]].
Njena [[determinanta]] je 1, saj je njen inverz celoštevilčna matrika. [[lastna vrednost|Lastne vrednosti]] so vse [[realno število|realne]] in pozitivne. Matrika je strogo [[definitnost|pozitivno definitna]].
 
=== Kombinatorika in statistika ===
 
Binomski koeficienti so pomembni v [[kombinatorika|kombinatoriki]], ker nam priskrbijo enačbe za določene pogoste probleme pri preštevanju:
 
* vsaka [[množica]] z ''n'' elementi ima C(''n'', ''k'') različnih [[podmnožica|podmnožic]], vsaka s ''k'' elementi. To so [[kombinacije|''k''-kombinacije]],
Vrstica 76 ⟶ 74:
* število znakovnih nizov s ''k'' enicami in ''n'' ničlami, kjer noben ni drugemu soseden je C(''n''+1, ''k''),
* število [[zaporedje|zaporedij]], ki vsebuje ''n'' naravnih števil, katerih vsota je enaka ''k'' je C(''n''+''k''-1, ''k''); to je tudi število načinov izbire ''k'' elementov iz množice ''n'', če se lahko ponavljajo,
* [[Catalanovo število|Catalanova števila]] imajo enostavno enačbo z binomskimi koeficienti. Z njimi se lahko preštevamoprešteva različne [[matematična struktura|strukture]], kot so [[drevo|drevesa]] ali [[izraz z oklepaji|izrazi z oklepaji]].
 
Binomski koeficienti nastopajo tudi v enačbi za [[binomska porazdelitev|binomsko porazdelitev]] v [[statistika|statistiki]] in v enačbi za [[Bézierova krivulja|Bézierovo krivuljo]].
Vrstica 82 ⟶ 80:
=== Enačbe z binomskimi koeficienti ===
 
Včasih nam pridejo prav naslednje enačbe:
 
: <math> C(n, k) = \mathrm{C}(n, n-k) . \qquad (4) </math>
 
To sledi, če se pri razvoju binoma uporabimouporabi (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> = (''y'' + ''x'')<sup>''n''</sup>.
 
: <math> \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}(n,k) = 2^n . \qquad (5) </math>
 
Če se pri razvoju binoma uporabimouporabi ''x'' = ''y'' = 1, sledi:
 
: <math> \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{C}(n,k) = n 2^{n-1} . \qquad (6) </math>
Vrstica 98 ⟶ 96:
: <math> \sum_{j=0}^{k} \mathrm{C}(m,j) \mathrm{C}(n,k-j) = \mathrm{C}(m+n,k) . \qquad (7) </math>
 
Če razvijemose razvije (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> (''x'' + ''y'')<sup>''m''</sup> = (''x'' + ''y'')<sup>''m''+''n''</sup> z binomom (tukaj je C(''n'', ''k'') nič, če je ''k'' > ''n''). S to enačbo se posplošimo zgornjo rekurenčno enačbo (3):
 
: <math> \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}(n,k)^2 = \mathrm{C}(2n,n) . \qquad (8)</math>
Vrstica 106 ⟶ 104:
: <math> \sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}(n-k,k) = \mathrm{F}(n+1) . \qquad (9) </math>
 
Tukaj ''F''(''n''+1) označuje [[Fibonaccijevo število|Fibonaccijeva števila]]. To enačbo za diagonale Pascalovega trikotnika se lahko dokažemodokaže z matematično indukcijo za ''n'' v zgornji rekurenčni enačbi (3):
 
: <math> \sum_{j=k}^{n} \mathrm{C}(j,k) = \mathrm{C}(n+1,k+1) . \qquad (10) </math>
Vrstica 112 ⟶ 110:
=== Delitelji binomskih koeficientov ===
 
[[prafaktor|Prafaktorje]] C(''n'', ''k'') se lahko obravnavamoobravnava na naslednji način: če je ''p'' praštevilo in je ''p''<sup>''r''</sup> najvišja [[potenca]] ''p'', ki deli C(''n'', ''k''), potem je ''r'' enako številu naravnih števil ''j'', da je decimalni del ''k''/''p''<sup>''j''</sup> večji kot decimalni del ''n''/''p''<sup>''j''</sup>. Posebej je C(''n'', ''k'') vedno deljivo z''n''/(''n'',''k''), kjer je (''n'',''k'') [[največji skupni delitelj]] ''n'' in ''k''..
 
=== Posplošitev v kompleksnem ===
 
Binomske koeficiente C(''z'', ''k'') se lahko določimodoloči za vsako kompleksno število ''z'' in vsako naravno število ''k'' z:
 
: <math> \mathrm{C}(z,k) = \frac{z(z-1)(z-2)\dots (z-k+1)}{k!} . \qquad (11) </math>
 
To posplošitev uporabljamose uporablja pri določitvi binomskega izreka in zadovoljuje lastnostiznačilnosti (3) in (7).
 
Za določen ''k'' je enačba C(''z'', ''k'') [[polinom]] v ''z'' stopnje ''k'' z [[racionalno število|racionalnimi]] koeficienti. Vsak polinom ''p''(''z'') stopnje ''d'' se lahko zapišemozapiše v obliki:
 
: <math> p(z) = \sum_{k=0}^{d} a_k \mathrm{C}(z,k) </math>
 
s primernimi konstantami ''a''<sub>''k''</sub>. To je pomembno v teoriji [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]]. Na enačbo se lahko gledamogleda kot na nezvezno obliko [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]].▼
 
▲s primernimi konstantami ''a''<sub>''k''</sub>. To je pomembno v teoriji [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]]. Na enačbo lahko gledamo kot na nezvezno obliko [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]].
 
[[Kategorija:Kombinatorika]]
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/wiki/Binomski_koeficient«