Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 18 zlogov ,  pred 5 leti
m
m/dp/pnp
m (m/dp)
m (m/dp/pnp)
: <math> M(x) = \mathcal{O} (x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}) \!\, </math>
 
za vsak pozitiven ε, enakovredna Riemannovi domnevi ([[John Edensor Littlewood|Littlewood]], 1912; glej na primer razdelek 14.25 v Titchmarshevem delu.<ref name="titchmarsh_1986" />). (Za pomen teh simbolov glej [[O notacija|Landauov simbol]].) Determinanta [[Redhefferjeva matrika|Redhefferjeve matrike]] reda ''n'' je enaka ''M''(''n''), tako da se lahko Riemannova domneva izrazi kot pogoj za rast teh determinant. Riemannova domneva da precej ozko mejo rasti ''M'', ker sta [[Andrew Michael Odlyzko|Odlyzko]] in [[Herman te Riele|te Riele]] leta 1985 dokazala nepravilnost malo močnejše [[Mertensova domneva|Mertensove domneve]]:<ref>{{sktxt|Odlyzko|te Riele|1985}}.</ref>
 
: <math> |M(x)| \le \sqrt x \!\, . </math>
==== Elementarni kriteriji ====
 
Leta 1915 je [[Srinivasa AiyangarAjangar RamanujanRamanudžan|RamanujanRamanudžan]] s privzetkom o pravilnosti Riemannove domneve dokazal, da velja (Robinova neenakost):
 
: <math> \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n \!\, </math>
 
za dovolj velike ''n''.<ref>{{sktxt|RamanujanRamanudžan|1997}}.</ref> Leta 1984 je [[Guy Robin|Robin]] dokazal, da neenakost velja za vse ''n''&nbsp;≥&nbsp;5041, če je Riemannova domneva pravilna (Robinov izrek).<ref name="robin_1984" /> Največje znano število, za katerega neenakost ne velja, je ''n''&nbsp;=&nbsp;5040. Če je Riemannova domneva pravilna, ne obstaja večja izjema. Če je Riemannova domneva nepravilna, je Robin pokazal, da obstaja neskončno mnogo vrednosti ''n'', za katera neenakost ne velja. Znano je, da mora biti najmanjše takšno število ''n''&nbsp;≥&nbsp;5041 [[superobilno število]].<ref>{{sktxt|Akbary|Friggstad|2009}}.</ref> Neenakost velja za velika liha in [[deljivost brez kvadrata|s kvadratom nedeljiva]] cela števila, Riemannova domneva pa je enakovredna neenakosti le za ''n'' deljive s peto potenco praštevila.<ref>{{sktxt|Choie|Lichiardopol|Moree|Solé|2007}}.</ref>
 
Lagarias<ref>{{sktxt|Lagarias|2002}}.</ref> je leta 2000 podal podoben elementarni kriterij. Riemannova domneva je enakovredna neenakostim:<ref>{{sktxt|Cisło|Wolf|2008}}.</ref>
* {{citat|last1= Patterson|first1= S. J.|title= An introduction to the theory of the Riemann zeta-function|publisher= Cambridge University Press|series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics|isbn= 978-0-521-33535-5|mr= 933558|year= 1988|volume= 14|ref= harv}}
* {{citat|last1= Radziejewski|first1 = Maciej|doi= 10.1090/S0002-9947-06-04078-5|issue= 5|journal= Transactions of the American Mathematical Society|mr= 2276625|pages = 2383–2394|quote= Obstaja neskončno mnogo neizomorfnih obsegov algebrskih števil katerih Dedekindove funkcije ζ imajo neskončno mnogo netrivialnih mnogokratnih ničel.|title= Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields|volume= 359|year= 2007|ref= harv}}
* {{citat|last1= RamanujanRamanudžan|first1= Srinivasa AiyangarAjangar|authorlink1= Srinivasa AiyangarAjangar RamanujanRamanudžan|title= Highly composite numbers, annotated by [[Jean-Louis Nicolas]] and [[Guy Robin]]|doi= 10.1023/A:1009764017495|mr= 1606180|year= 1997|journal= The Ramanujan Journal|issn= 1382-4090|volume= 1|issue= 2|pages= 119–153|ref= harv}}
* {{citat|last1= Ribenboim|first1= Paulo|authorlink1 = Paulo Ribenboim|title= The New Book of Prime Number Records|publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer]]|location= New York|year= 1996|isbn= 0-387-94457-5|ref= harv}}
* {{citat|last1= Riemann|first1= Bernhard|authorlink1= Bernhard Riemann|url= http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title= {{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}}|year=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie|ref= harv}}. V ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), ponatisnjeno Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Izvirni rokopis] (z angleškim prevodom). Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} in {{harv|Edwards|1974}}