Riemannova domneva: Razlika med redakcijama

dodanih 26 zlogov ,  pred 5 leti
m
m/dp
m (m/dp/pnp)
m (m/dp)
<blockquote>je metoda dokaza zanimiva v smislu, da neenakost velja pod privzetkom pravilnosti Riemannove domneve, in drugič pod nasprotnim privzetkom.</blockquote>
 
== Posplošitve in analogianalogoni Riemannove domneve ==
 
=== Dirichletova L-vrsta in drugi obsegi ===
=== Funkcijski obsegi in funkcije ζ varietet končnih obsegov ===
 
[[Emil Artin|Artin]]<ref>{{sktxt|Artin|1924}}.</ref> je leta 1924 vpeljal globalne funkcije ζ (kvadratnih) [[funkcijski obseg algebrske varietete|funkcijskih obsegov]] in zanje postavil analoganalogon Riemannove domneve. Dokazal ga je [[Helmut Hasse|Hasse]] za primer roda 1, v splošnem pa [[André Weil|Weil]] leta 1948.<ref>{{sktxt|Weil|1948}}.</ref>. Dejstvo, da je absolutna vrednost [[kvadratna Gaussova vsota|Gaussove vsote]] kvadratnega karakterja [[končni obseg|končnega obsega]] velikosti ''q'' (kjer je ''q'' lih) enaka:
 
: <math> \sqrt{q} \!\, , </math>
{{glavni|Selbergova funkcija zeta}}
 
[[Atle Selberg|Selberg]]<ref>{{sktxt|Selberg|1956}}.</ref> je leta 1956 vpeljal [[Selbergova funkcija zeta|Selbergovo funkcijo ζ]] [[Riemannova ploskev|Riemannove ploskve]]. Te so podobne Riemannovi funkciji ζ: imajo funkcijsko enačbo in neskončni produkt podoben Eulerjevemu produktu, vendar ta poteka čez sklenjene [[geodetka|geodetke]] in ne čez praštevila. [[Selbergova sledna formula]] je analoganalogon za te funkcije [[eksplicitna formula (L-funkcija)|eksplicitnih formul]] v teoriji praštevil. Selberg je dokazal, da za Selbergovo funkcijo ζ velja analoganalogon Riemannove domneve, z imaginarnimi deli njihovih ničel, ki so povezane z lastnimi vrednostmi [[Laplaceov operator|Laplaceovega operatorja]] Riemannove ploskve.
 
=== Iharove funkcije ζ ===
 
[[Iharova funkcija zeta|Iharova funkcija ζ]] končnega grafa je analoganalogon Selbergove funkcije ζ, ki jo je prvič uvedel [[Jasutaka Ihara|Ihara]] v kontekstu diskretnih podgrup p-adične specialne linearne grupe dva krat dva. Regularni končni graf je [[Ramanujanov graf]], matematični model učinkovitih komunikacijskih mrež, če in samo če za Iharovo funkcijo ζ velja analoganalogon Riemannove domneve, kot je pokazal [[Tošikazu Sunada|Sunada]].
 
=== Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji ===
=== Druge funkcije ζ ===
 
Obstaja [[funkcija zeta|več drugih primerov]] funkcij ζ z analogianalogoni Riemannove domneve, od katerih so nekateri že dokazani. [[Gossova funkcija zeta|Gossove funkcije ζ]] funkcijskih obsegov imajo Riemannovo domnevo, ki jo je dokazal Sheats<ref name="sheats_1998">{{sktxt|Sheats|1998}}.</ref> leta 1998. [[glavna domneva Ivasavove teorije|Glavna domneva]] [[Ivasavova teorija|Ivasavove teorije]], ki sta jo dokazala Mazur in [[Andrew Wiles|Wiles]] za [[ciklotomski obseg|ciklotomske obsege]], in Wiles za [[totalni realni številski obseg|totalno realne obsege]], istoveti ničle ''p''-adične ''L''-funkcije z lastnimi vrednostmi operatorja, zato se jo lahko obravnava kot analoganalogon [[Hilbert-Pólyeva domneva|Hilbert-Pólyeve domneve]] za [[p-adična L-funkcija|''p''-adične ''L''-funkcije]].<ref>{{sktxt|Wiles|2000}}.</ref>
 
== Poskusi dokaza Riemannove domneve ==
{{glavni|Hilbert–Pólyeva domneva}}
 
Hilbert in [[George Pólya|Pólya]] sta predlagala eno pot za rešitev Riemannove domneve, kjer bi se našel [[sebiadjungirani operator]], iz katerega obstoja bi izhajala izjava o realnih delih funkcije ζ(''s''), če bi uporabil kriterij na realne [[lastna vrednost|lastne vrednosti]]. Ena podpora te zamisli izhaja iz več analogovanalogonov Riemannove funkcije ζ, katere ničle odgovarjajo lastnim vrednostim kakšnega operatorja: ničle funkcije ζ varietete čez končni obseg odgovarjajo lastnim vrednostim [[Frobeniusov element|Frobeniusovega elementa]] na grupi [[kohomologija étale|kohomologije étale]], ničle Selbergove funkcije ζ so lastne vrednosti Laplaceovega operatoraja Riemannove ploskve, ničle [[p-adična funkcija zeta|''p''-adične funkcije ζ]] pa odgovarjajo lastnim vrednostim Galoisove akcije na [[grupa idealnega razreda|grupah idealnih razredov]].
 
Odlyzko<ref name="odlyzko_1987" /> je leta 1987 pokazal, da porazdelitev ničel Riemannove funkcije ζ deli nekatere statistične značilnosti z lastnimi vrednostmi [[slučajna matrika|slučajnih matrik]] izvedenih iz [[gaussovski enotski ansambel|gaussovskega enotskega ansambla]]. To da nekaj podpore Hilbert-Pólyevi domnevi.
=== Nekomutativna geometrija ===
 
[[Alain Connes|Connes]]<ref>{{sktxt|Connes|1999}}.</ref><ref>{{sktxt|Connes|2000}}.</ref> je leta 1999 in 2000 opisal povezavo med Riemannovo domnevo in [[nekomutativna geometrija|nekomutativno geometrijo]]. Pokazal je, da bi iz ustreznega analogaanalogona Selbergove sledne formule za akcijo [[adelska algebrska grupa|idelske razredne grupe]] na adelski razredni prostor izhajala Riemannova domneva. Nekaj od teh zamisli izčrpno navaja Lapidus.<ref>{{sktxt|Lapidus|2008}}.</ref>
 
=== Hilbertovi prostori celih funkcij ===
Selberg<ref>{{sktxt|Selberg|1942}}.</ref> je leta 1942 raziskal Hardy-Littlewoodov problem 2 in dokazal, da za poljubni ε > 0 obstajata takšna <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0\, </math> in ''c'' = ''c''(ε) > 0, da bo za <math>T \geq T_0\, </math> in <math>H=T^{0,5+\varepsilon}\, </math> veljala neenakost <math>N(T+H)-N(T) \geq cH\log T\, </math>. Selberg je domneval, da se to lahko zoži na <math>H=T^{0,5}\, </math>. Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1984a}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1984b}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1985}}.</ref> je med letoma 1984 in 1985 dokazal, da za fiksni ε, za katerega velja pogoj 0 < ε < 0,001, dovolj veliki ''T'' in <math>H = T^{a+\varepsilon}\, </math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}\, </math>, interval (''T'', ''T''+''H'') vsebuje vsaj ''cH''ln(''T'') realnih ničel Riemannove funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> in tako potrdil Selbergovo domnevo. Selbergove in Karacubove ocene se ne dajo izboljšati glede na stopnjo rasti, ko gre ''T'' → ∞.
 
Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1992}}.</ref> je leta 1992 dokazal, da analoganalogon Selbergove domneve velja za skoraj vse intervale (''T'', ''T''+''H''], <math>H = T^{\varepsilon}\, </math>, kjer je ε poljubnoo majhno fiksno pozitivno število. Karacubova metoda dovoljuje raziskavo ničel Riemannove funkcije ζ na »superkratkih« intervalih kritične premice, to je na intervalih (''T'', ''T''+''H''], dolžina ''H'', ki se povečuje počasneje kot katerakoli, četudi poljubno majhna stopnja ''T''. Dokazal je še posebej, da za poljuno število ε, <math>\varepsilon_1\, </math>, za katerega veljajo pogoji <math>0<\varepsilon, \varepsilon_{1} < 1\, </math>, skoraj vsi intervali (''T'', ''T''+''H''] za <math>H\ge\exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}\, </math> vsebujejo vsaj <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}\, </math> ničel funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math>. Ta ocena je zelo blizu tisti, ki izhaja iz Riemannove domneve.
 
=== Numerični izračuni ===
 
Nekatere argumente za (ali proti) Riemannovi domnevi so navedli [[Peter Sarnak|Sarnak]],<ref name="sarnak_2008" /> Conrey<ref name="conrey_2003" /> in Ivić.<ref name="ivic_2008" /> Med njimi so naslednji razlogi:
* dokazali so že več analogovanalogonov Riemannove domneve. Deligneov dokaz Riemannove domneve za varietete čez končne obsege<ref name="deligne_1974" /> je verjetno najmočnejši posamezen teoretični razlog v prid Riemannovi domnevi. To zagotavlja nekaj pokazateljev za splošnejšo domnevo, da za vse funkcije ζ povezane z avtomorfnimi formami velja Riemannova domneva, ki vsebuje klasično Riemannovo domnevo kot posebni primer. Podobno za Selbergove funkcije ζ velja analoganalogon Riemannove domneve in so na nek način podobne Riemannovi funkciji ζ s funkcijsko enačbo in razvoj v neskončni produkt podoben razvoju v Eulerjev produkt. Obstaja pa nekaj večjih razlik: niso na primer podane s kakšno Dirichletovo vrsto. RIemannovo domnevo za Gossovo funkcijo ζ je dokazal Sheats.<ref name="sheats_1998" /> Z razliko od teh pozitivnih primerov za nekatere [[Epsteinova funkcija zeta|Epsteinove funkcije ζ]] Riemannova domneva ne velja, četudi imajo neskončno število ničel na kritični premici.<ref name="titchmarsh_1986" /> Te funkcije so zelo podobne Riemannovi funkciji ζ, lahko se jih razvije s kakšno Dirichletovo vrsto in imajo funkcijsko enačbo, vendar tiste, za katere ne velja Riemannova domneva, nimajo Eulerjevega produkta in niso neposredno povezane z [[avtomorfna reprezentacija|avtomorfnimi reprezentacijami]].
* kot prvo se numerično preverjanje, da mnogo ničel leži na premici, zdi močan pokazatelj. Vendar je bilo v analitični teoriji števil veliko domnev, ki so jih podpirale velike količine numeričnih izračunov, pa so bile nepravilne. Glej [[Skewesovo število]] za značilni zgled, kje se prva izjema verjetni domnevi povezani z Riemannovo domnevo morda lahko pojavi pri približno številu 10<sup>316</sup>; protiprimer Riemannovi domnevi z imaginarnim delom takšne velikosti bi bil precej daleč proč od tega kar se trunutno lahko izračuna z neposrednim pristopom. Problem je, ker na obnašanje velikokrat vplivajo zelo počasi naraščajoče funkcije, kot je npr. log log ''T'', in težijo k neskončnosti, vendar zelo počasi, kar je nemogoče zaznati z računanjem. Takšne funkcije se pojavljajo v teoriji funkcij ζ in od njih je odvisno obnašanje njihovih ničel. Zgornja funkcija ''S''(''T'') ima na primer povprečno velikost (log log ''T'')<sup>1/2</sup>. Kot vrednost funkcije ''S''(''T'') naraste vsaj za 2 v kakšnem protiprimeru Riemannove domneve, bi bilo pričakovati, da se bodo protiprimeri Riemannove domneve začeli pojavljati le kadar vrednost funkcije ''S''(''T'') postane velika. Njena vrednost ni skoraj nikoli dosti večja od 3, kakor kažejo dosedanji izračuni, vendar je znano, da je neomejena, kar nakazuje, da izračuni še niso dosegli območja značilnega obnašanja funkcije ζ.
* [[Arnaud Denjoy|Denjoy]]ev verjetnostni argument za Riemannovo domnevo<ref name="edwards_1974" /> temelji na opažanju, da, če je μ(''x'') naključno zaporedje števil »1« in »−1«, potem so za vsak {{nowrap|ε > 0}} [[delna vsota|delne vsote]]: