Število praštevil: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m Bot: Migracija 18 interwikija/-ev, od zdaj gostuje(-jo) na Wikipodatkih, na d:q251922 |
m m/dp/slog |
||
Vrstica 1:
'''Števílo práštevíl''' je v [[matematika|matematiki]] [[multiplikativna funkcija|nemultiplikativna]] [[aritmetična funkcija]] poljubnega [[pozitivno število|pozitivnega]] [[realno število|realnega števila]] ''x'', ki se jo
: [[nič|0]], 1, 2, 2, 3, 3, [[4 (število)|4]], 4, 4, 4, [[5 (število)|5]], 5, [[6 (število)|6]], 6, 6, [[7 (število)|7]], 7, [[8 (število)|8]], 8, ...
Vrstica 21:
: <math>\lim_{x\rightarrow +\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1 \; , </math>
kjer je ''li''(·) fukcija [[logaritemski integral]]. Praštevilski izrek sta leta
Znane so
: <math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O \left( x \exp \left( -\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15} \right) \right) \; , </math>
kjer je ''O'' [[Landauov simbol]]. [[elementarni dokaz|Elementarne dokaze]] praštevilskega izreka brez uporabe funkcije ζ ali [[kompleksna analiza|kompleksne analize]] sta leta
Funkcijo π(''x'') je raziskoval [[James Joseph Sylvester]].
Vrstica 37:
== Algoritmi za računanje π(''x'') ==
Preprost način za računanje π(''x''), če ''x'' ni prevelik, je [[Eratostenovo sito]], s katerim
Bolj izdelano pot je podal Legendre. Če so za dani ''x'' <math>p_{1}</math>, <math>p_{2}</math>, …, <math>p_{k}</math> različna praštevila, je število celih števil manjših ali enakih od ''x'', ki [[tuje število|niso deljiva]] s <math>p_{i}</math>
Vrstica 49:
kjer so števila <math>p_{1}, p_{2},\dots,p_{k}</math> praštevila manjša ali enaka [[kvadratni koren|kvadratnemu korenu]] od ''x''.
[[Ernst Meissel|Meissel]] je v nizu člankov, objavljenih med letoma
: <math> \Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\left[\frac{m}{p_n}\right],n-1\right) \; . </math>
Vrstica 59:
S tem pristopom je Meissel izračunal π(''x'') za ''x'' enak 5 · 10<sup>5</sup>, 10<sup>6</sup>, 10<sup>7</sup> in 10<sup>8</sup>.
Leta
: <math> \Phi(m,n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_k(m,n) \; , </math>
Vrstica 94:
== Druge funkcije štetja praštevil ==
Uporabljajo se tudi druge funkcije, ker je lažje delati z njimi. Ena od njih je [[Riemannova funkcija števila praštevil]], običajno označena kot <math>\Pi_{0}(x)</math> in tudi ''f''(''x''). Funkcija narašča korakoma po ''1/n'' za praštevilske potence ''p''<sup>n</sup>, in zavzema vrednosti na polovici obeh nezveznosti. Na ta način je lahko določena z obratom [[Mellinova transformacija|Mellinove transformacije]]. Strogo se lahko
: <math> \Pi_0(x) = \frac12 \bigg(\sum_{p^n < x} \frac1n\ + \sum_{p^n \le x} \frac1n\bigg) \; , </math>
Vrstica 100:
kjer je ''p'' praštevilo.
Lahko
: <math> \Pi_0(x) = \sum_2^x \frac{\Lambda(n)}{\ln n} - \frac12 \frac{\Lambda(x)}{\ln x} = \sum_{n=1}^\infty \frac1n \pi_0(x^{1/n}) </math>
Vrstica 114:
kjer je M(u) [[Mertensova funkcija]].
Z zvezo med [[Riemannova funkcija zeta|Riemannovo funkcijo ζ(·)]] in von Mangoldtovo funkcijo Λ(·) ter [[Perronova enačba|Perronovo enačbo]]
: <math> \ln \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s+1}\,dx \; . </math>
|