Skalarni produkt: Razlika med redakcijama
Izbrisana vsebina Dodana vsebina
m vrnitev sprememb uporabnika 112.96.28.47 (pogovor) na zadnje urejanje uporabnika 2001:1470:FACA:1506:3D5F:1BDE:5CE7:2EA9 |
m m/dp/slog |
||
Vrstica 1:
'''Skalárni prodúkt''' je [[matematična operacija]], ki dvema [[vektor (matematika)|vektorjema]] priredi število ([[skalar]]). Rezultat
:<math> \vec a\cdot\vec b = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\varphi \!\, , </math>
: <math> \vec a \vec b = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\varphi \!\, . </math>
== Definicija ==▼
▲==Definicija==
Skalarni produkt vektorjev '''a''' = [''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ... , ''a''<sub>''n''</sub>] in '''b''' = [''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ... , ''b''<sub>''n''</sub>] je definiran kot:
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n </math>▼
:kjer Σ pomeni [[Vsota|Vsoto]] in ''n'' dimenzijo vektorskega prostora.▼
▲: <math> \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \!\, , </math>
V dvodimenzionalnem prostoru je tako produkt vektorjev [a,b] in [c,d] enak ac + bd.▼
▲V
Podobno je v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem prostoru]] produkt vektorjev [a,b,c] in [d,e,f] enak ad + be + cf.
:[1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1]
Vrstica 24 ⟶ 27:
</math>
==
Skalarni produkt je '''[[komutativnost|komutativen]]'''.
Vrstica 42 ⟶ 46:
Skalarni produkt vektorja s samim sabo je enak [[kvadrat]]u dolžine vektorja, saj je vmesni [[kot]] v tem primeru enak 0° (cos 0° = 1):
: <math> \vec a \vec a=|\vec a|^2 \!\, . </math>
Skalarni produkt medsebojno [[pravokotnost|pravokotnih]] vektorjev je enak 0, saj je [[kosinus]] vmesnega kota enak nič (cos 90° = 0):
:<math>\vec a\bot\vec b \iff \vec a\vec b =0</math>▼
▲: <math> \vec a\bot\vec b \iff \vec a\vec b =0 \!\, . </math>
==Posplošitev skalarnega produkta==▼
Izraz ''skalarni produkt'' uporabljamo tudi v širšem smislu besede. ▼
▲== Posplošitev skalarnega produkta ==
'''Posplošeni skalarni produkt''' (ali ''skalarni produkt v širšem smislu besede'') je [[računska operacija]], ki ima iste osnovne lastnosti kot običajni skalarni produkt. Takšno operacijo imenujemo tudi '''notranji produkt'''.▼
===Definicija notranjega produkta===▼
Imejmo [[vektorski prostor]] ''V'' nad komutativnim [[obseg (algebra)|obsegom]] '''F''' (v praksi je '''F''' običajno množica [[realno število|realnih]] ali pa množica [[kompleksno število|kompleksnih števil]]).▼
▲'''Posplošeni skalarni produkt''' (ali ''skalarni produkt v širšem smislu besede'') je [[računska operacija]], ki ima iste osnovne
Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz ''V'' priredi element obsega '''F'''. Rezultat označimo kot <math>\langle x,y\rangle</math> ali (''x,y'') ali kar preprosto ''x y''. ▼
▲=== Definicija notranjega produkta ===
Za notranji produkt morajo veljati naslednje lastnosti (za poljubne vektorje ''x,y'' in ''z'' ter za poljubna ''a'' in ''b'' iz obsega '''F'''):▼
▲
▲Notranji produkt je preslikava, ki dvema vektorjema iz ''V'' priredi element obsega '''F'''. Rezultat
▲Za notranji produkt morajo veljati naslednje
* konjugirana simetrija:
Vrstica 64 ⟶ 72:
* Linearnost (v prvem faktorju):
: <math> \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle </math>▼
: <math> \langle x+y,z\rangle= \langle x,z\rangle+ \langle y,z\rangle </math>▼
▲: <math> \langle ax,y\rangle= a \langle x,y\rangle \!\, , </math>
*Pozitivna definitnost:▼
: <math> \langle x+y,
▲* Pozitivna definitnost:
: <math> \langle x,x\rangle >0 </math> za vsak ''x'', različen od 0.
=== Značilnosti ===
* Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je ''b'' kompleksno število):▼
: <math> \langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle \!\, , </math>▼
=== Evklidski prostor ===▼
S pomočjo notranjega produkta se lahko v vektorski prostor ''V''
▲Če upoštevamo definicijske lastnosti, vidimo, da velja tudi:
▲*Linearnost v drugem faktorju (s konjugiranjem, če je ''b'' kompleksno število):
▲:<math>\langle x,by \rangle= \overline{b} \langle x,y\rangle</math>
▲===Evklidski prostor===
▲{{glavni|Evklidski prostor}}
▲S pomočjo notranjega produkta lahko v vektorski prostor ''V'' uvedemo mero za merjenje dolžin in kotov. Tako opremljen vektorski prostor imenujemo [[evklidski prostor]].
▲Dolžino vektorja ''x'' definiramo kot:
▲:<math>||x||=\sqrt{\langle x, x\rangle}</math>
▲:<math>d(x,y)=||x-y||\,\!</math>
: <math> <\!\!\!)\,(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y\rangle}{||x||~||y||} \!\, . </math>▼
▲Kot med vektorjema ''x'' in ''y'' pa definiramo kot:
▲:<math><\!\!\!)\,(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y\rangle}{||x||~||y||}</math>
▲{{Linearna algebra}}
[[Kategorija:Linearna algebra]]
| |||