Enotski vektor: Razlika med redakcijama

dodanih 3.972 zlogov ,  pred 5 leti
m+/dp/slog
m (m/dp/pnp)
(m+/dp/slog)
'''Enôtski véktor''' (tudi '''enôtni véktor'''<ref name="bronštejn">{{sktxt|Bronštejn|Semendjajev|1978|pp=605}}.</ref>{{rp|605}}<ref name="vidav">{{sktxt|Vidav|1978|pp=101}}.</ref>{{rp|101}}<ref>{{sktxt|Kuščer|Kodre|2006|pp=47}}.</ref>{{rp|47}} ali '''véktorska enôta'''<ref name="bronštejn" /><ref name="vidav" />) v [[normirani vektorski prostor|normiranem vektorskem prostoru]] je v [[matematika|matematiki]] [[vektor (matematika)|vektor]] (po navadi [[evklidski vektor]]) z [[norma vektorja|dolžino]] (modulom<ref name="bronštejn" />) [[1 (število)|1]] ([[enota|enoto]] [[dolžina|dolžine]]):
 
: <math> \|\mathbf{e}\| \equiv \|\vec\mathbf{e}\| \equiv \|\mathbf\hat{e}\| \equiv | \mathbf\hat{e} | \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 1 \!\, . </math>
: <math> \vec\mathbf{u} = \|\vec\mathbf{u}\| \cdot \mathbf\hat{e} \!\, , </math>
 
tako da je '''normalizírannormalizírani véktor''' (''verzorversor'' ali '''enôtski véktor sméri véktorja'''<ref name="bronštejn" />) <math>\mathbf\hat{u}</math> neničelnega vektorja <math>\vec\mathbf{u}</math> enotski vektor z enako smerjo in smislom kot <math>\vec\mathbf{u}</math>:
 
: <math> \vec\mathbf{u}^{0} \equiv \vec\mathbf{u}_{0} \equiv \mathbf\hat{u} = \frac{1}{\|\vec\mathbf{u}\|} \cdot \vec\mathbf{u} = \frac{\vec\mathbf{u}}{\|\vec\mathbf{u}\|} = \frac{\vec\mathbf{u}}{u} ; \qquad \|\vec\mathbf{u}\| \ne 0 \!\, \vee \vec\mathbf{u} \ne \vec\mathbf{0}, </math>
 
kjer je <math>\|\vec\mathbf{u}\|</math> norma (ali dolžina) vektorja <math>\vec\mathbf{u}</math>, <math>\vec\mathbf{0}</math> pa ničelni vektor. Izraz normalizirannormalizirani vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.
 
Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi [[baza (linearna algebra)|baze]]. Vsak vektor v prostoru se lahko zapiše kot [[linearna kombinacija]] enotskih vektorjev. Kot baze se največkrat srečajo [[kartezični koordinatni sistem|kartezične]], [[polarni koordinatni sistem|polarne]], valjne ([[cilindrični kkordinatnikoordinatni sistem|cilindrične]]) in krogelne ([[sferni koordinatni sistem|sferne]]) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na [[simetrija|simetrijo]] [[koordinatni sistem|koordinatnega sistema]].
 
== KartezičneOrtogonalne koordinate ==
=== ValjneKartezične koordinate ===
 
V [[razsežnost|trirazsežnem]] [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] se včasih enotski vektorji, katerih smer je enaka z osmi <math>x</math>, <math>y</math> in <math>z</math>, oziroma, ki ležijo na oseh, imenujejo vektorji koordinatnega sistema. Njihove koordinate so:
: <math> \mathbf\hat{i} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{j} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{k} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \,\, . </math>
 
Včasih veljajo za [[versor (fizika)|versor]]je koordinatnega sistema in tvorijo množico medsebojno [[ortogonalnost|ortogonalnih]] enotskih vektorjev, ki v [[linearna algebra|linearni algebri]] predstavljajo zgled [[standardna baza|standardne baze]].
Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom (kot <math>\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{i}</math> ali <math>\vec{i}</math>) in ne s strešicami. Večinoma je privzeto, da so <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math> (ali <math>\vec{i}, \vec{j}</math> in <math> \vec{k}</math>) vektorji kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi <math>(\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z})</math>, <math>(\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3})</math>, <math>(\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z})</math> ali <math>(\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3})</math> z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{k}</math> lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za [[indeks (matematika)|indekse]] <math>i, j, k</math>, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled [[standardna baza|standardne baze]].
 
Običajno se jih označuje z normalnim vektorskim zapisom (kot <math>\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{i}</math> ali <math>\vec{i}</math>) in ne s strešicami (npr. <math>\mathbf\hat{i}\, </math>, <math>\hat{i}\, </math> ali <math>\mathbf{\hat{\imath}}\, </math>). Večinoma je privzeto, da so <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math> (ali <math>\vec{i}, \vec{j}</math> in <math> \vec{k}</math>) versorji (vektorji) kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi <math>(\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z})</math>, <math>(\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3})</math>, <math>(\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z})</math> ali <math>(\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3})</math> z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{k}</math> lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za [[indeks (matematika)|indekse]] <math>i, j, k</math>, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled [[standardna baza|standardne baze]].
Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math>, so tri njegove skalarne komponente »[[smerni kosinus]]i«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opiše [[usmerjenost (matematika)|usmerjenost]] (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segment usmerjene osi.
 
Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math>, so tri njegove skalarne komponente »[[smerni kosinus]]i«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opiše [[usmerjenost (matematika)|usmerjenost]] (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segmentodsek usmerjene osi.
== Valjne koordinate ==
 
=== Valjne koordinate ===
 
Enotski vektorji, primerni za valjno ([[cilindrični koordinatni sistem|cilindrično]]) simetrijo, so:
* <math>\mathbf\hat{s}</math> (označbi tudi <math>\mathbf\hat{r}</math> ali <math>\boldsymbol{\hat \rho}</math>), razdalja od osi simetrije,
* <math>\boldsymbol{\hat \phi}</math> (označba tudi <math>\boldsymbol{\hat \varphi}</math>), kot, merjen v smeri nasprotni urinim kazalcem od pozitivne osi <math>x</math>, in
* <math>\mathbf\hat{z}</math>, smer osi simetrije.
S kartezično bazo <math>\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z}</math> so povezane z:
 
: <math> \frac{\partial \mathbf\hat{z}} {\partial \phi} = \vec\mathbf{0} \!\, . </math>
 
=== Krogelne koordinate ===
 
Enotski vektorji, primerni za krogelno ([[sferni koordinatni sistem|sferno]]) simetrijo, so:
 
:<math> \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\phi}}} {\partial \theta} = \vec\mathbf{0} \!\, . </math>
 
=== Splošni enotski vektorji ===
 
{{glavni|ortogonalni koordinatni sistem}}
 
Običajne splošne teme o enotskih vektorjih se pojavljajo v [[fizika|fiziki]] in [[geometrija|geometriji]]:<ref>{{sktxt|Ayres|Mandelson|2009}}.</ref>
 
{| class="wikitable"
|-
 
! scope="col" width="200" | enotski vektor
! scope="col" width="150" | označbe
! scope="col" width="410" | prikaz
|-
| [[Tangentni vektor]] na [[krivulja|krivuljo]]/[[tokovnica|tokovnico]] || <math> \mathbf{\hat{t}}\,\!</math> || rowspan="3" | [[Slika:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[Slika:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
[[Normalni vektor]] <math> \mathbf{\hat{n}} \,\!</math> na [[ravnina|ravnino]], ki vsebuje in jo določata [[krajevni vektor]] [[lega|lege]] <math> r \mathbf{\hat{r}} \,\!</math> in kotna tangentna smer [[vrtenje|vrtenja]] <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} \,\!</math>, je potreben, tako da vektorske enačbe kotnega [[gibanje|gibanja]] veljajo.
|-
|Normalen na [[ploskev]] tangentne ravnine/ravnine, ki vsebuje komponento krajevne lege in kotno tangentno komponento
|| <math> \mathbf{\hat{n}}\,\!</math>
 
V izrazih [[polarni koordinatni sistem|polarnih koordinat]];
<math> \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}} \,\!</math>
|-
| [[Binormalni vektor]] na tangento in normalo
|| <math> \mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}} \,\!</math><ref>{{sktxt|Spiegel|Lipschutz|Spellman|2009}}.</ref>
|-
| [[vzporednost|Vzporeden]] na kakšno [[os vrtenja|os]]/[[premica|premico]] || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} \,\!</math> || rowspan="2" | [[Slika:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
En enotski vektor <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}\,\!</math> poravnan vzporedno na glavno smer (rdeča premica), ortogonalni enotski vektor <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}\,\!</math> pa je v poljubni radialni smeri relativno na glavno premico.
|-
| [[pravokotnost|Pravokoten]] na kakšno os/premico v poljubni radialni smeri
|| <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot} \,\!</math>
|-
| Možen kotni odklon relativno na kakšno os/premico
|| <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} \,\!</math>
|| [[Slika:Angular unit vector.svg|200px|"200px"]]
Enotski vektor pod ostrim odklonskim kotom ''φ'' (vključno s kotoma 0 ali ''π''/2 rad) relativno na glavno smer.
|-
|}
 
== Krivočrtne koordinate ==
 
V splošnem se lahko opiše koordinatni sistem s pomočjo [[linearna neodvisnost|linearno neodvisnih]] enotskih vektorjev <math>\mathbf\hat{e}_{n}</math>, ki so enaki [[prostostna stopnja|prostostni stopnji]] prostora. Za običajni [[trirazsežni prostor]] se jih lahko označi kot <math>\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3}</math>. Skoraj vedno je priporočljivo, da je sistem po definiciji [[ortonormalnost|ortonormalen]] in [[pravilo desne roke|desnosučen]]:
 
: <math> \mathbf\hat{e}_{i} \cdot \mathbf\hat{e}_{j} = \delta_{ij} \!\, , </math>
 
: <math> \mathbf\hat{e}_{1i} \cdot (\mathbf\hat{e}_{2j} \times \mathbf\hat{e}_{3k}) = \varepsilon_{ijk} =
\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \!\, , </math>
 
pri čemer je <math>\delta_{ij}</math> [[Kroneckerjev delta|Kroneckerjev simbol delta]] in <math>\varepsilon_{ijk}\, </math> [[Levi-Civitajev simbol]].
 
== Glej tudi ==
 
* [[kartezični koordinatni sistem]]
* [[koordinatni sistem]]
* [[krivočrtne koordinate]]
* [[četverec hitrosti]]
* [[Jacobijeva matrika]]
* [[polarni koordinatni sistem]]
* [[versor|pravi versor]]
* [[enotski interval]]
* [[enotski kvadrat]], [[enotska kocka]], [[enotska krožnica]], [[enotska sfera]]
 
== Sklici ==
 
{{sklici|13}}
 
== Viri ==
 
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{navedi knjigo|first= Ilja Nikolajevič|last= Bronštejn|authorlink= Ilja Nikolajevič Bronštejn |coauthors= [[Konstantin Adolfovič Semendjajev|Semendjajev, Konstantin Adolfovič]]|title= [[Matematični priročnik (Bronštejn, Semendjajev)|Matematični priročnik]]|edition= 5. ponatis|year= 1978|publisher= Tehniška založba Slovenije|location= Ljubljana|cobiss= 205107|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|firstlast1= IvanAyres|lastfirst1= VidavF.|authorlinklast2= IvanMandelson|first2= VidavE.|title= VišjaCalculus matematika(Schaum's I.Outlines Series)|edition= 65. izdaja|year= 1978|publisher= [[DruštvoMc matematikov,Graw fizikovHill|year= in astronomov Slovenije|DMFA]]2009|locationisbn= Ljubljana978-0-07-150861-2|cobiss= 4787712|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|first= Ilja Nikolajevič|last= Bronštejn|authorlink= Ilja Nikolajevič Bronštejn |coauthors= [[Konstantin Adolfovič Semendjajev|Semendjajev, Konstantin Adolfovič]]|title= [[Matematični priročnik (Bronštejn, Semendjajev)|Matematični priročnik]]|edition= |id= 5. ponatis|year= 1978|publisher= Tehniška založba Slovenije|location= Ljubljana|cobiss= 205107|ref= harv}}
* {{navedi knjigo|last1= Kuščer|first1= Ivan|authorlink1= Ivan Kuščer|last2= Kodre|first2= Alojz|authorlink2= Alojz Kodre|year= 2006|title= Matematika v fiziki in tehniki|id= 2. natis|publisher= DMFA Založništvo|location= Ljubljana|isbn= 978-961-212-033-7|cobiss= 230034944|ref= harv}} ISBN 961-212-033-1
* {{navedi knjigo|last1= Spiegel|first1= M. R.|last2= Lipschutz|first2= S.|last3= Spellman|first3= D.|title= Vector Analysis (Schaum's Outlines Series)|edition= 2.|publisher= Mc Graw Hill|year= 2009|isbn= 978-0-07-161545-7|cobiss= |ref= harv}}
* {{navedi knjigo|first= Ivan|last= Vidav|authorlink= Ivan Vidav|title= Višja matematika I.|edition= 6. |year= 1978|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]]|location= Ljubljana|cobiss= 4787712|ref= harv}}
{{refend}}
 
[[Kategorija:Linearna algebra]]