Razsežnostna analiza: Razlika med redakcijama

m
m/dp/slog
(ods. Link FA/GA)
m (m/dp/slog)
'''Razsežnostna analiza''' (tudi '''dimenzijska analiza''') je orodje s katerim sise v [[fizika|fiziki]], [[kemija|kemiji]], [[tehnika|tehniki]] in delno v [[ekonomija|ekonomiji]] pomagamopomaga razumeti značilnosti in obliko [[fizikalna količina|fizikalnih količin]]. S pomočjo razsežnostne analize se število spremenljivk zmanjšamozmanjša na manjše število parametrov, ki nastopajo v enačbi, in s tem poenostavimose poenostavi problem.
 
Velikost vsake fizikalne količine se lahko opišemoopiše kot kombinacijokombinacija osnovnih [[merska enota|merskih enot]], ki določajo [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]], [[čas]], [[električni naboj]] in [[temperatura|temperaturo]], ki jihse imenujemoimenujejo [[razsežnost]]i (prava razsežnost pripada samo dolžini - prostoru in času). Razsežnosti osnovnih merskih enot označujemose označujejo z '''M''', '''L''', '''T''', '''Q''' in '''Θ'''. Tako se npr. za [[hitrost]], ki se jo lahko [[meritev|merimomeri]] v metrih na sekundo ali kilometrih na uro, napišemonapiše, da ima hitrost razsežnost '''L'''/'''T''' ali '''LT'''<sup> -1</sup>. Podobno se lahko razsežnot [[sila|sile]] napišemonapiše kot '''ML'''/'''T'''<sup> 2</sup>.
 
Običajno je pojem razsežnosti mnogo težje razumljiv, kot pojem merske enote. Masa je razsežnotrazsežnost, [[kilogram]] pa je merska enota z razsežnostjo [[masa|mase]] (oznaka '''M''').
 
== Osnovne razsežnosti v fizikalnih količinah ==
V fizikalnih količinah uporabljamose uporabljajo naslednje osnovne razsežnosti:
{| class="wikitable"
! količina
|[[pospešek]] || <math>a \,</math> || m/s² || <math>L \cdot T^{-2}</math>
|-----
|[[gibalna količina]] || <math>p \,</math> || m · kg/s || <math> M \cdot L \cdot T^{-1}</math>
|-----
|[[gostota]] || <math>\rho \,</math> || kg/m³ || <math> M \cdot L^{-3} </math>
|-----
|[[sila]] || <math>F \,</math> || N ( = kg •m· m/s²) || <math> M \cdot L \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[specifična teža]] || <math>\sigma \,</math> || N/m³ || <math> M \cdot L^{-2} \cdot T^{-2} </math>
|[[prožnostni modul|modul elastičnosti]] || <math>E \,</math> || N/m² || <math> M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[energija]] || <math>W \,</math> || J ( = m²•kg · kg/s²) || <math> M \cdot L^{2} \cdot T^{-2} </math>
|-----
|[[moč]] || <math>P \,</math> || W ( = m²•kg · kg/s³) || <math> M \cdot L^{2} \cdot T^{-3} </math>
|-----
|[[viskoznost|dinamična viskoznost]] || <math>\eta \,</math> || N•sN · s/m² ||<math> M \cdot L^{-1} \cdot T^{-1} </math>
|-----
|[[kinematična viskoznost]] || <math>\nu \,</math> || m²/s || <math> L^{2} \cdot T^{-1} </math>
Analiza se izvaja v več korakih.
* 1. korak
Določitev odvisnih spremenljiv. PredpostavimoPredpostavi se, da je neodvisna spremenljivka <math> N \,</math> odvisna od <math>n \,</math> spremenljivk, ki se jih označimooznači s <math>q \,</math>.
 
: <math> N = f(q_1, \ldots, q_n) \,</math>.
 
DoločimoDoloči se tudi število razsežnosti, ki so potrebne za spremenljivko <math> N \,</math>. To število označimose označi z <math> m \,</math>. Za vsako spremenljivko se lahko določimodoloči tudi njeno razsežnost. Zgornji izraz se lahko napišemonapiše tudi kot:
 
: <math> f(q_1, \ldots, q_n) - N = 0\,</math>
 
To se lahko v skladu s Buckinhamovim izrekom π zapišemozapiše kot:
 
: <math>f(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_{n-m}) \!\, , </math>
kjer so <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> … [[racionalno število|racionalna števila]].
 
Skupaj imamoje <math>n-m \,</math> enačb.
 
* 2. korak
Na levi strani enačb imamoso brezrazsežne količine (posamezni <math> \pi \,</math>). To pomeni, da imajo vse razsežnosti [[potenciranje|stopnjo potence]] ˙(eksponent) enako 0.
 
* 3. korak
ZamenjajmoZamenjajo se vse količine, ki nastopajo v enačbah za <math> \pi \,</math> z njihovimi izrazi za razsežnosti (uporabimouporabijo izrazese izrazi za razsežnosti iz tabele). Potence razsežnosti na levi in desni strani morajo biti enake.
 
* 4. korak
Tako dobimose dobi sistem enačb, ki ga moramoje treba rešiti. Z rešitvijo enačb se v resnici dobimodobijo vrednosti za <math> m_1 \,</math>, <math> m_2 \,</math> itd. Te vrednosti pa so potence posameznih razsežnosti in s tem tudi potence posameznih spremenljivk <math> q_n \,</math> v analiziranem izrazu za fizikalno količino.
 
== Zgled ==
 
Kot zgled vzemimonaj se vzame [[nihalo]] brez trenja ([[matematično nihalo]]), ki niha od ravnotežne lege za manj kot 5[[kotna stopinja|°]]. Dolžina nihala je enaka <math>l \,</math>, [[masa]] nihala je enaka <math> m \,</math>, [[težni pospešek]] označimose označi z <math>g \,</math>
 
Za matematično [[nihalo]] velja:
:<math>f(T,M,L,g) = 0 \!\, . </math>
 
V tem primeru je m = 4 (število spremenljivk – T, M, L in g) in n = 3 (število osnovnih fizikalnih količin – čas, masa in dolžina), torej je potreben (4 -3 = 1) 1 parameter, ki se ga označimooznači s <math> \pi \,</math>, ki je enak:
 
: <math>\Pi = l^{x_1} \cdot g^{x_2} \cdot m^{x_3} \cdot t^{x_4} \!\, . </math>
 
Vrednost za π je brez razsežnosti. Zamenjajmo posameznePosamezne količine se zamenja z izrazi za razsežnost in dobimose dobi:
 
: <math>L^{x_1} \cdot (L/{T^2})^{x_2} \cdot M^{x_3} \cdot T^{x_4} \!\, . </math>
 
Iz tega dobimose dobijo naslednje enačbe (za vsako razsežnost posebej mora biti [[potenciranje|eksponent]] enak nič)
 
: za dolžino L: <math>x_1 + x_2 \; = \; 0</math>
: za čas T: <math>-2 \cdot x_2 + x_4 = 0</math>
 
Za rešitve sistema enačb dobimose dobi:
 
: <math>x_4 = 1 \,</math>,
: <math>x_3 = 0 \,</math>
 
To nam za <math> \pi \,</math> da vrednost:
 
: <math> \Pi = \sqrt{g / l} \cdot m^0 \cdot t = \sqrt{g / l} \cdot t \!\, , </math>
 
== Zunanje povezave ==
 
* [http://www.roymech.co.uk/Related/Fluids/Dimension_Analysis.html Pregled razsežnosti fizikalnih količin] {{ikona en}}
* [http://chemeng.iisc.ernet.in/kumaran/chap1.pdf Opis razsežnostne analize] {{ikona en}}
 
[[Kategorija:Meroslovje]]
[[Kategorija:Razsežnostna analiza|* ]]