Enotski vektor: Razlika med redakcijama

dodanih 6 zlogov ,  pred 5 leti
m
m/dp/slog
m (m/dp)
m (m/dp/slog)
: <math> \vec\mathbf{0} \cdot \mathbf\hat{e} = \|\vec\mathbf{0}\| \|\mathbf\hat{e}\| \cos\varphi = 0 \!\, . </math>
 
Pri tem tudi kot <math>\varphi</math> ni določen, saj ničelni vektor nima smeri, privzamemoprivzame pa se, da je pravokoten na enotski vektor, oziroma na vse vektorje, kakor tudi sam nase.
 
== Normalizacija vektorja ==
 
Vsak neničelni vektor <math>\vec\mathbf{u}</math> se lahko zapišemozapiše kot skalarni produkt njegove norme (dolžine) in enotskega vektorja z enako smerjo in smislom:
 
: <math> \vec\mathbf{u} = \|\vec\mathbf{u}\| \cdot \mathbf\hat{e} \!\, , </math>
kjer je <math>\|\vec\mathbf{u}\|</math> norma (ali dolžina) vektorja <math>\vec\mathbf{u}</math>, <math>\vec\mathbf{0}</math> pa ničelni vektor. Izraz normaliziran vektor se včasih rabi kot sopomenka za enotski vektor.
 
Za enotske vektorje se običajno izberejo elementi [[baza (linearna algebra)|baze]]. Vsak vektor v prostoru se lahko zapišemozapiše kot [[linearna kombinacija|linearno kombinacijo]] enotskih vektorjev. Kot baze se največkrat srečamosrečajo [[kartezični koordinatni sistem|kartezične]], [[polarni koordinatni sistem|polarne]], valjne ([[cilindrični kkordinatni sistem|cilindrične]]) in krogelne ([[sferni koordinatni sistem|sferne]]) koordinate. Vsaka od njih uporablja različne enotske vektorje glede na [[simetrija|simetrijo]] [[koordinatni sistem|koordinatnega sistema]].
 
== Kartezične koordinate ==
: <math> \mathbf\hat{i} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{j} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf\hat{k} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \,\, . </math>
 
Običajno se jih označujemooznačuje z normalnim vektorskim zapisom (kot <math>\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{i}</math> ali <math>\vec{i}</math>) in ne s strešicami. Večinoma je privzeto, da so <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math> (ali <math>\vec{i}, \vec{j}</math> in <math> \vec{k}</math>) vektorji kartezičnega koordinatnega sistema. Odtod trojica recipročnih ortogonalnih enotskih vektorjev. Zapisi <math>(\mathbf\hat{x}, \mathbf\hat{y}, \mathbf\hat{z})</math>, <math>(\mathbf\hat{x}_{1}, \mathbf\hat{x}_{2}, \mathbf\hat{x}_{3})</math>, <math>(\mathbf\hat{e}_{x}, \mathbf\hat{e}_{y}, \mathbf\hat{e}_{z})</math> ali <math>(\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3})</math> z ali brez strešice se tudi uporablja, še posebej kadar označbe <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{k}</math> lahko vodijo do zamenjave z označbami drugih količin (na primer s simboli za [[indeks (matematika)|indekse]] <math>i, j, k</math>, ki označujejo elemente množice, polja ali zaporedja spremenljivk. Ti vektorji predstavljajo zgled [[standardna baza|standardne baze]].
 
Ko je enotski vektor v prostoru izražen s kartezičnim zapisom kot linearna kombinacija vektorjev <math>\vec\mathbf{i}</math>, <math>\vec\mathbf{j}</math> in <math>\vec\mathbf{k}</math>, so tri njegove skalarne komponente »[[smerni kosinus]]i«. Vrednost vsake komponente je enaka kosinusu kota, ki ga tvori enotski vektor s pripadajočim baznim vektorjem. Na ta način se lahko opišemoopiše [[usmerjenost (matematika)|usmerjenost]] (kotno lego) premice, daljico, usmerjeno os ali segment usmerjene osi.
 
== Valjne koordinate ==
: <math> \mathbf\hat{z}=\mathbf\hat{z} \!\, . </math>
 
Treba je omeniti, da sta <math>\mathbf\hat{s}</math> in <math>\boldsymbol{\hat \phi}</math> funkciji <math>\phi\!\,</math> in po smeri nista konstantni. Pri odvajanju ali integriranju v valjnih koordinatah ju je treba prav tako vzeti v obzir. Za popolnejši opis glej [[Jacobijeva matrika]]. Odvodi po <math>\phi\,\,</math> so, od tega dva neničelna:
 
: <math> \frac{\partial \mathbf\hat{s}} {\partial \phi} = -\sin \phi\mathbf\hat{x} + \cos \phi\mathbf\hat{y} = \boldsymbol{\hat \phi} \!\, , </math>
== Krivočrtne koordinate ==
 
V splošnem se lahko opišemoopiše koordinatni sistem s pomočnopomočjo [[linearna neodvisnost|linearno neodvisnih]] enotskih vektorjev <math>\mathbf\hat{e}_{n}</math>, ki so enaki [[prostostna stopnja|prostostni stopnji]] prostora. Za običajni trirazsežni prostor se jih lahko označimooznači kot <math>\mathbf\hat{e}_{1}, \mathbf\hat{e}_{2}, \mathbf\hat{e}_{3}</math>. Skoraj vedno je priporočljivo, da je sistem po definiciji [[ortonormalnost|ortonormalen]] in [[pravilo desne roke|desnosučen]]:
 
: <math> \mathbf\hat{e}_{i} \cdot \mathbf\hat{e}_{j} = \delta_{ij} \!\, , </math>
* [[krivočrtne koordinate]]
 
== Opombe in skliciSklici ==
 
{{opombe}}
{{sklici|1}}
 
== Viri ==
 
* {{navedi knjigo |first= Ilja Nikolajevič |last=Bronštejn Bronštejn|authorlink= Ilja Nikolajevič Bronštejn |coauthors= [[Konstantin Adolfovič Semendjajev|Semendjajev, Konstantin Adolfovič]] |title= [[Matematični priročnik (Bronštejn, Semendjajev)|Matematični priročnik]] |edition= 5. ponatis |year=1978 1978|publisher= Tehniška založba Slovenije |location=Ljubljana Ljubljana|cobiss= 205107|ref= harv}}
* {{navedi knjigo |first= Ivan |last=Vidav Vidav|authorlink= Ivan Vidav |title= Višja matematika I. |edition= 6. izdaja |year= 1978 |publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] |location= Ljubljana|cobiss= 4787712|ref= harv}}
 
[[Kategorija:Linearna algebra]]